[論文レビュー] Fully Dynamic c-Edge Connectivity in Subpolynomial Time.

Wenyu Jin, Xiaorui Sun|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2020

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 48被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、任意の $ c = (\log n)^{o(1)} $ に対して、worst-case の更新時間とクエリ時間が $ n^{o(1)} $ である、$ c $-edge 連結性の決定的完全動的アルゴリズムを提示する。この手法は、多層の $ c $-edge 連結性スパーシファイア、オンライン・バッチ更新技術、およびworst-case効率を達成するための一般化変換を用いる。主な貢献は、$ c $-edge 連結性の分野で、先行研究の境界を超える、部分多項式時間のworst-case更新時間の達成である。

ABSTRACT

We present a deterministic fully dynamic algorithm for $c$-edge connectivity problem with $n^{o(1)}$ worst case update and query time for any positive integer $c = (\log n)^{o(1)}$ for a graph with $n$ vertices. Previously, only polylogarithmic, $O(\sqrt{n})$, and $O(n^{2/3})$ worst case update time algorithms were known for fully dynamic $1$, $2$ and $3$-edge connectivity problems respectively. Our techniques include a multi-level $c$-edge connectivity sparsifier, an online-batch update algorithm for the sparsifier, and a general approach to turn an online-batch dynamic algorithm with small amortized update time into a fully dynamic algorithm with worst case update time.

研究の動機と目的

• 完全動的 $ c $-edge 連結性において、部分多項式時間のworst-case更新時間の達成という、長年の課題に取り組むこと。
• 従来の研究が $ c=1,2,3 $ に限られ、多項対数時間または $ O(n^{2/3}) $ の更新時間に留まっていたのを拡張すること。
• 小さなアモアタイズドコストを持つオンライン・バッチ動的アルゴリズムを、worst-case の更新時間保証を持つ完全動的アルゴリズムに変換する一般化フレームワークを設計すること。
• $ c $ が $ n $ と共にゆっくりと増加するスパースな連結性閾値に対して、効率的な動的連結性を実現すること。

提案手法

• グラフの複雑さを低下させつつ $ c $-edge 連結性の性質を保持する多層の $ c $-edge 連結性スパーシファイアを設計すること。
• 動的エッジ変更の間にスパーシファイアを効率的に維持するオンライン・バッチ更新アルゴリズムを開発すること。
• 小さなアモアタイズド更新コストを持つオンライン・バッチ動的アルゴリズムを、worst-case 更新時間を持つ完全動的アルゴリズムに変換する一般化変換技術を導入すること。
• スパーシファイアを用いて問題のサイズを縮小し、変換を適用することで $ n^{o(1)} $ のworst-case更新時間の達成を目指すこと。
• $ c = (\log n)^{o(1)} $ の構造を活用し、スパーシファイアが部分多項式時間内で小さく保たれることを保証すること。
• スパーシファイアとworst-case更新メカニズムを組み合わせ、すべての更新シーケンスにおいて性能の上限を保証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ c = (\log n)^{o(1)} $ の場合に、完全動的 $ c $-edge 連結性を部分多項式時間のworst-case更新時間で維持できるか？
• RQ2 オンライン・バッチ動的アルゴリズムから、worst-case 更新時間を持つ完全動的アルゴリズムへの一般化変換を設計することは可能か？
• RQ3 効率的に維持できる多層スパーシファイアをどのように構築し、動的更新下でも $ c $-edge 連結性を保持できるか？
• RQ4 スパーシファイアのサイズと更新効率のトレードオフは、$ c $-edge 連結性の維持においてどのように影響するか？
• RQ5 このフレームワークは、小さな定数値を超える $ c $-edge 連結性に対しても拡張可能か？

主な発見

• アルゴリズムは、$ c = (\log n)^{o(1)} $ の場合に、$ n^{o(1)} $ のworst-case更新時間とクエリ時間を達成し、先行研究の境界を著しく上回る。
• 提案された多層の $ c $-edge 連結性スパーシファイアは、部分多項式オーバーヘッドで効率的な動的連結性閾値の維持を可能にする。
• オンライン・バッチ更新技術により、スパーシファイアがバッチ単位で効率的に更新され、1回の更新あたりのコストが最小限に抑えられる。
• アモアタイズドからworst-case更新時間への変換手法は、有効であり、広範な種類の動的アルゴリズムに適用可能である。
• フレームワークは $ c=1,2,3 $ を超えて一般化され、成長する $ c $ に対しても部分多項式更新時間を実現できる。
• この結果により、$ c $ が $ n $ と共にゆっくりと増加する場合でも、完全動的 $ c $-edge 連結性が効率的に維持可能であることが示され、動的グラフアルゴリズム分野における長年のギャップが埋められた。