[論文レビュー] Fully dynamic hierarchical diameter k-clustering and k-center

Melanie Schmidt, Christian Sohler|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2019

Algorithms and Data Compression参考文献 17被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、ユークリッド空間における階層的直径$k$-クラスタリングおよび$k$-センターの完全動的データ構造を提示し、効率的な挿入・削除およびクラスタ代表点照会をサポートする。低次元では多対数時間の更新を達成し、高次元では$O(d\ell)$近似を、グリッドベースの階層的分解と確率的サンプリングを用いて、ほぼ最適な期待平均時間境界で達成する。

ABSTRACT

We develop dynamic data structures for maintaining a hierarchical k-center clustering when the points come from a discrete space $\{1,\ldots,Δ\}^d$. Our first data structure is for the low dimensional setting, i.e., d is a constant, and processes insertions, deletions and cluster representative queries in $\log^{O(1)} (Δn)$ time, where $n$ is the current size of the point set. For the high dimensional case and an integer parameter $\ell > 1$, we provide a randomized data structure that maintains an $O(d \ell)$-approximation. The amortized expected insertion time is $O(d^2 \ell \log n \log Δ)$. The amortized expected deletion time is $O(d^2 n^{1/\ell} \log^2 n \log Δ)$. At any point of time, with probability at least $1-1/n$, the data structure can correctly answer all queries for cluster representatives in $O(d \ell \log n \log Δ)$ time per query.

研究の動機と目的

• ユークリッド空間における完全動的データ構造を設計し、挿入・削除およびクラスタ代表点照会を効率的に行えるようにすること。
• 従来の増分的アルゴリズムが連鎖的変更のため失敗する動的点更新下でも、階層的クラスタリングを維持する課題に対処すること。
• 低次元および高次元の両設定で、更新時間の効率性と証明可能な近似保証を達成すること。
• グリッドベースの分解と確率的サンプリングを用いて、ストリーミングおよび静的$k$-センターアルゴリズムを動的で階層的な設定に拡張すること。

提案手法

• 空間$\{1,\dots,\Delta\}^d$の階層的グリッド分解を用いる。各レベルは粗いグリッド解像度に対応する。
• 各レベル$i$において、点はサイズ$2^i$のグリッドセルに分割され、各セルに対して代表点集合$I_{i,j}$を維持することで、迅速なクラスタ照会を可能にする。
• 各セルあたりの点数を制限するために確率的サンプリングを用いる：各点は$P_{i,j+1}$に確率$n^{-1/\ell}$で含まれる。これにより、期待更新コストが低減される。
• 複数のクラスタリングレベルを動的データ構造で維持し、グリッドセルの照会と三角不等式の境界を用いて、必要に応じてレベル間のポインタを計算する。
• 高次元設定では、$\ell$レベルの階層を用い、$O(d\ell)$-近似を達成する。グリッドサンプリングを用いたランダム射影に類似したアイデアを活用する。
• クラスタ代表点照会は、階層をたどり、粗いグリッドセル内の最近傍点を特定することで解決され、期待$O(d\ell\log n\log\Delta)$の照会時間となる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 低次元ユークリッド空間において、完全動的階層的$k$-センタークラスタリングを多対数時間の更新時間で維持できるか？
• RQ2 高次元動的$k$-センタークラスタリングにおいて、近似品質と更新効率のトレードオフは何か？
• RQ3 再計算を完全に再開することなく、挿入・削除の下で階層的クラスタリングを維持できるか？
• RQ4 確率的サンプリングとグリッドベースの分解を用いて、定数因子の近似保証を維持しながら、効率的な平均更新時間を達成できるか？
• RQ5 動的更新下でも、点ごとの近似比が保証される階層的クラスタリングを維持できるか？

主な発見

• 低次元ユークリッド空間（$d$が定数）では、データ構造が$\log^{O(1)}(\Delta n)$時間で挿入・削除・クラスタ代表点照会をサポートする。
• 高次元空間では、$O(d\ell)$-近似を達成し、平均期待挿入時間は$O(d^2\ell\log n\log\Delta)$となる。
• 削除操作の平均期待時間は$O(d^2n^{1/\ell}\log^2n\log\Delta)$であり、クラスタ照会の正しさは高確率（$1 - 1/n$）で保証される。
• クラスタ代表点照会は、高確率で$O(d\ell\log n\log\Delta)$の時間で回答される。
• 正しいクラスタリングの成功確率はグリッドセルのカバー率に依存する：$g \geq 10\log n$のグリッドレベルがあれば、距離$2^i$以内のすべての点対が、高確率で少なくとも1つのグリッドに同じセルに含まれる。
• 近似保証は、階層的$\alpha$-良い集合族の構築により維持され、すべてのクラスタリングにおいて点ごとに$O(\ell)$-近似が保証される。