[論文レビュー] Fully leafed induced subtrees

Alexandre Blondin Massé, Julien de Carufel+4 more|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2017

Advanced Graph Theory Research被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、与えられたグラフの誘導部分木における最大のリーフ数を求める問題である完全リーフ付き誘導部分木（FLIS）問題を導入する。決定問題バージョン（LIS）がNP完全であることを証明し、一般のグラフに対して分枝限定法アルゴリズムを提示する一方で、木に対してはO(n³Δ)の動的計画法の解法を提供し、ブルートフォース法に比べて著しく効率的であることを示す。

ABSTRACT

Let $G$ be a simple graph on $n$ vertices. We consider the problem LIS of deciding whether there exists an induced subtree with exactly $i \leq n$ vertices and $\ell$ leaves in $G$. We study the associated optimization problem, that consists in computing the maximal number of leaves, denoted by $L_G(i)$, realized by an induced subtree with $i$ vertices, for $0 \le i \le n$. We begin by proving that the LIS problem is NP-complete in general and then we compute the values of the map $L_G$ for some classical families of graphs and in particular for the $d$-dimensional hypercubic graphs $Q_d$, for $2 \leq d \leq 6$. We also describe a nontrivial branch and bound algorithm that computes the function $L_G$ for any simple graph $G$. In the special case where $G$ is a tree of maximum degree $\Delta$, we provide a $\mathcal{O}(n^3\Delta)$ time and $\mathcal{O}(n^2)$ space algorithm to compute the function $L_G$.

研究の動機と目的

• グラフにおけるリーフ数が最大の誘導部分木を求める問題を形式化し、分析すること。
• 決定問題LISがNP完全であることを証明し、理論的困難性を確立すること。
• 任意の単純グラフにおけるリーフ関数LG(i)を計算するための一般の分枝限定法アルゴリズムを開発すること。
• 木に対しては、O(n³Δ)の時間計算量とO(n²)の空間計算量を達成する多項式時間の動的計画法アルゴリズムを設計すること。
• ハイパーキューブQd（2 ≤ d ≤ 6）や格子グラフを含む古典的グラフ族におけるLG(i)を計算すること。

提案手法

• 既知のNP完全問題への帰着を用いて、LIS決定問題のNP完全性を証明する。
• 完全リーフ付き解に到達できないと予想される部分木を除外することで、探索空間を削減する非自明な分枝限定法アルゴリズムを提案する。
• 木に対しては、各辺を根とする木の構造を用い、部分木におけるリーフ関数を再帰的に計算する動的計画法のアプローチを採用する。
• 辺の削除によって誘導される根付き森林に対して、畳み込みに類似した演算を用いて最適なリーフ数を計算する再帰的マージ戦略を採用する。
• 木の構造と頂点の次数Δを活用して時間計算量を制限し、中間結果を保存することで再計算を回避する。
• 辺{u,v}を含み、サイズiの部分木における最大リーフ数を計算する関数L{u,v}(i)を実装し、2つの根付き部分木からの結果を統合する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般のグラフにおいて、リーフ付き誘導部分木（LIS）決定問題はNP完全か？
• RQ2 任意のグラフに対して、サイズiの誘導部分木における最大リーフ数LG(i)を効率的に計算できるアルゴリズムは存在するか？
• RQ3 木におけるLG(i)の計算時間計算量は何か？ そして、ブルートフォースな列挙を上回る性能向上は可能か？
• RQ4 ハイパーキューブや格子グラフのような古典的グラフ族において、LG(i)はどのように振る舞うか？
• RQ5 高対称性を持つグラフの対称性や自己同型を活用することで、LG(i)の計算を加速できるか？

主な発見

• LIS決定問題がNP完全であることが証明され、正則グラフに対しても同様に成立し、問題の理論的非効率性が確立された。
• 非効率な部分木を除外する戦略を採用した一般の分枝限定法アルゴリズムを開発し、任意の単純グラフに対してLG(i)を効率的に計算可能であることを示した。
• 最大次数Δの木に対して、O(n³Δ)の時間計算量とO(n²)の空間計算量を達成する動的計画法アルゴリズムを提示した。
• この複雑度を達成するために、根付き部分木におけるリーフ関数を再帰的に計算し、辺に基づく分解を用いて結果をマージしている。
• 2 ≤ d ≤ 6のd次元ハイパーキューブQdについて、LG(i)を計算し、これらのグラフ族に対する具体的な値を提供した。
• 頂点に接続する異なる辺に対して、森林マージ操作を再利用する際の構造的制限を同定し、時間計算量に避けがたいΔ要因が存在する理由を説明した。