[論文レビュー] Fully nonlinear parabolic equations in two space variables

Ben Andrews|ArXiv.org|Feb 14, 2004

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 6被引用数 40

ひとこと要約

本稿では、2次元空間変数における完全非線形放物型方程式の解の2階空間微分および時間微分について、2次元楕円型正則性にインspiredされた技法を用いて Hölder 評価を確立する。主な貢献は、$ F $ に対する凹性仮定を必要とせず、2次元において $ C^{2,\beta} $ の完全な正則性結果を得ることであり、$ F $ の凸な等高線集合の下で高次元への応用を可能にしている。

ABSTRACT

Hölder estimates for second derivatives are proved for solutions of fully nonlinear parabolic equations in two space variables. Related techniques extend the regularity theory for fully nonlinear parabolic equations in higher dimensions.

研究の動機と目的

• 2次元空間変数における完全非線形放物型方程式の解の2階空間微分および時間微分について、Hölder 評価を確立すること。
• 方程式の正則性理論を凹の場合に限らないように拡張し、$ F $ に対する凹性仮定を排除すること。
• 2次元楕円型技法を放物型設定に適応し、低次元における解の構造を活用すること。
• Hessian 論理において $ F $ の等高線集合の凸性に置き換えることで、高次元への一般化を図ること。
• $ F $ に対して最小限の構造的仮定の下で、解について完全な $ C^{2,\beta} $ 正則性推定を提供すること。

提案手法

• 指数変換 $ \tilde{G} = -\exp(-KG) $ に基づく摂動論法を用い、$ F $ に対する凸な等高線集合条件を、知られている凹正則性理論が適用可能な凹作用素 $ \tilde{G} $ に変換する。
• 差分商 $ \delta_h u $ に対して放物型最大原理を適用し、超解 $ \Psi_+ $ と比較することで、1階微分の時間における Hölder 継続性を導出する。
• 方程式の構造と強楕円性の境界を用いて、放物型円柱内での劣解および超解との比較により、2階微分の空間 Hölder 継続性を確立する。
• 2階微分の差を空間的および時間的成分に分解し、1階微分の時間正則性と2階微分の空間正則性を組み合わせることで、$ D^2u $ の時間 Hölder 継続性を導出する。
• 2次元では、Hessian の構造と $ \dot{F}^{ij} $ の一様楕円性が、高次元よりも強い正則性推定を可能にするという事実に依拠する。
• 放物型円柱 $ Q_1 $ におけるスケーリングおよび局所化論法を用い、コンパクトネスおよび爆発技法により、問題を局所的な $ C^{2,\beta} $ 推定に還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全非線形放物型方程式の2次元空間変数について、$ F $ に対する凹性仮定を課さずに、2階微分の Hölder 評価を確立できるか？
• RQ2 Morrey および Nirenberg の2次元楕円型正則性技法を放物型設定にどのように適応できるか？
• RQ3 高次元において、凹性を仮定しない状況で $ C^{2,\beta} $ 正則性を保証する $ F $ の構造的条件は何か？
• RQ4 1階および2階空間微分の時間正則性を、空間時間における Hölder 範囲でどのように定量的に記述できるか？
• RQ5 Hölder 定数の最適な依存関係は、楕円性定数 $ \lambda, \Lambda $、および $ u $ と $ F $ のノルムにどのように依存するか？

主な発見

• 一様楕円的である $ F $ を持つ2次元空間変数における完全非線形放物型方程式に対して、2階空間微分 $ D^2u $ は、$ \lambda/\Lambda $ に依存する指数 $ \alpha $ を持つ空間および時間における Hölder 継続性を示すが、$ F $ の凹性仮定は不要である。
• 時間微分 $ u_t $ は、空間時間において指数 $ \alpha/2 $ の Hölder 継続性を示し、1階微分 $ Du $ は、時間において指数 $ (1+\alpha)/2 $ の Hölder 継続性を示す。
• 推定は、コンパクト部分集合 $ \Omega' \subset\subset \Omega $ および $ t \geq \tau > 0 $ において一様に成り立ち、定数は $ \lambda, \Lambda $、$ \sup(|D^2u| + |Du|) $、$ \sup|u_t| $、境界からの距離に依存する。
• 高次元では、$ F $ に対する凹性仮定は、$ D^2u $ における $ F $ の等高線集合の凸性というより弱い条件に置き換えられ、同じ $ C^{2,\beta} $ 推定が可能になる。
• 変換 $ \tilde{G} = -\exp(-KG) $ により、同じ楕円性境界を持つ凹作用素が得られ、既知の凹正則性理論を適用して $ D^2u $ の空間 Hölder 継続性を導出可能である。
• 空間的正則性の $ D^2u $、時間的正則性の $ Du $、および分解論法を組み合わせることで、完全な放物型 $ C^{2,\beta} $ 推定が確立され、$ |D^2u(x,t) - D^2u(x,s)| \leq C|t-s|^{\alpha/2} $ を得る。