[論文レビュー] Fully Packed Loops in a triangle: matchings, paths and puzzles

Ilse Fischer, Philippe Nadeau|arXiv (Cornell University)|Sep 6, 2012

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 20被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、局所的制約によって制御される配置の有効性を保証するための有向完全配置ループ配置（TFPLs）を三角形に導入し、通常のTFPLsを研究するための組合せ的枠組みを提供する。過剰度が0または1の場合の境界条件 (u,v;w) を持つTFPLの数え上げに関する公式を確立し、これらの数え上げがリトルウッド・リチャードソン係数および関連する組合せ的不変量で表せることを示した。具体的には、経路テングラー分解とパズルの数え上げ技術を用いて明示的な公式を導出した。

ABSTRACT

Fully Packed Loop configurations in a triangle (TFPLs) first appeared in the study of ordinary Fully Packed Loop configurations (FPLs) on the square grid where they were used to show that the number of FPLs with a given link pattern that has m nested arches is a polynomial function in m. It soon turned out that TFPLs possess a number of other nice properties. For instance, they can be seen as a generalized model of Littlewood-Richardson coefficients. We start our article by introducing oriented versions of TFPLs; their main advantage in comparison with ordinary TFPLs is that they involve only local constraints. Three main contributions are provided. Firstly, we show that the number of ordinary TFPLs can be extracted from a weighted enumeration of oriented TFPLs and thus it suffices to consider the latter. Secondly, we decompose oriented TFPLs into two matchings and use a classical bijection to obtain two families of nonintersecting lattice paths (path tangles). This point of view turns out to be extremely useful for giving easy proofs of previously known conditions on the boundary of TFPLs necessary for them to exist. One example is the inequality d(u)+d(v)<=d(w) where u,v,w are 01-words that encode the boundary conditions of ordinary TFPLs and d(u) is the number of cells in the Ferrers diagram associated with u. In the third part we consider TFPLs with d(w)- d(u)-d(v)=0,1; in the first case their numbers are given by Littlewood-Richardson coefficients, but also in the second case we provide formulas that are in terms of Littlewood-Richardson coefficients. The proofs of these formulas are of a purely combinatorial nature.

研究の動機と目的

• 局所的制約のみを課す有向TFPLを用いて、通常のTFPLのための組合せ的枠組みを構築すること。
• TFPLの存在に必要な境界条件を統一的に導出する方法を提供すること、特に不等式 d(u)+d(v)≤d(w) を含むこと。
• 過剰度が0または1の場合のTFPLの数え上げに対して明示的な公式を導出し、それらをリトルウッド・リチャードソン係数と関連付けること。
• パズルピecesの分解を用いて、TFPLの数え上げとグロテンディーク多項式との関係を確立すること。
• 重み付き有向TFPLの列挙が、生成関数の代数的変形により通常のTFPLの数え上げを抽出可能であることを示すこと。

提案手法

• 有向辺を導入した有向TFPLを定義し、配置の有効性を保証する局所的制約のみを課すこと。
• マッチングとパスの間の古典的双対性を用いて、有向TFPLを二つの交差しない格子パス族（経路テングラー）に分解すること。
• 経路テングラー表現を用いて、TFPLの存在に必要な十分な条件を導出し、特に不等式 d(u)+d(v)≤d(w) を含めること。
• 過剰度1のTFPL配置をモデル化するための3種類のパズル（DHD, DHU, BD）を定義し、組合せ的移動と遷移規則を用いて数えること。
• 過剰度1のTFPLの数え上げを、境界語 u, v, w における遷移に関する重み付き和で表現し、関数 L1, L0, R1 および c_{u,v}^w を含むこと。
• K理論とグロテンディーク多項式からの代数的技法を適用し、特にDHUパズルに関して、組合せ的公式の解釈と検証を行うこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有向TFPLは、局所的制約を用いて通常のTFPLの列挙をどのように簡略化できるか？
• RQ2 境界語 u, v, w にどのような組合せ的条件が、境界 (u,v;w) を持つTFPLの存在に必要な十分条件として必要・十分か？
• RQ3 過剰度1のTFPLの数え上げは、リトルウッド・リチャードソン係数および他の既知の組合せ的不変量とどのように関係するか？
• RQ4 過剰度1のTFPLの数え上げは、境界遷移と構造定数を用いた閉形式の公式として表現可能か？
• RQ5 K理論的グリーンマニアンの文脈において、TFPLの数え上げとグロテンディーク多項式の正確な関係は何か？

主な発見

• 境界 (u,v;w) と過剰度1のTFPLの数は、v と w における遷移の和に L1 と c_{u,v}^w を重み付けした式で与えられ、u における遷移とは独立である。
• 過剰度0の場合、境界 (u,v;w) を持つTFPLの数はリトルウッド・リチャードソン係数 c_{u,v}^w に等しく、既知の関係を確認した。
• 過剰度1の場合、TFPLの数は、各 v^+ について v→v^+ を満たすものに対して |v|_1 + L(v,v^+) + 1 の和に、w^− 遷移を含む補正項を加えた式で表される。
• 境界 (u,v;w) を持つDHUパズルの数は、d(w)=d(u)+d(v)+1 の条件下で、G_{λ(w)} の係数として G_{λ(u)}G_{λ(v)} に等しく、TFPLとK理論を結びつける。
• 過剰度1の有向TFPLの数は、u^+, v^+, w^− 遷移の寄与を組み合わせた複雑な公式で与えられ、L1, L0, R1 関数を含む係数を有する。
• パrameter q を用いた有向TFPLの重み付き列挙により得られる生成関数は、q-級数の代数的変形により通常のTFPLの数え上げを抽出可能である。