[論文レビュー] Fully packed loops on random surfaces and the 1/N expansion of tensor models

Valentin Bonzom, F. Combes|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2013

Tensor decomposition and applications被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、ランダムな表面における完全に詰め込まれた向き付きループとテンソルモデルからのエッジ彩色グラフの間の全単射を確立し、ループ展開がランク3テンソルモデルにおける1/N展開と一致することを示している。主な結果として、メロン型グラフが最大ループ数を達成する構成であると特定され、メロン型セクターへの射影を可能にするスケーリング極限が導出された。さらに、高ランクテンソルモデルへの一般化により、(d−1)次元の三角形分割上にフージャシティαを持つループを生成することができる。

ABSTRACT

We study a connection between random tensors and random matrices through $U( au)$ matrix models which generate fully packed, oriented loops on random surfaces. The latter are found to be in bijection with a set of regular edge-colored graphs typically found in tensor models. It is shown that the expansion in the number of loops is organized like the 1/N expansion of rank-three tensor models. Recent results on tensor models are reviewed and applied in this context. For example, configurations which maximize the number of loops are precisely the melonic graphs of tensor models and a scaling limit which projects onto the melonic sector is found. We also reinterpret the double scaling limit of tensor models from the point of view of loops on random surfaces. This approach is eventually generalized to higher-rank tensor models, which generate loops with fugacity $ au$ on triangulations in dimension $d-1$.

研究の動機と目的

• ランダムな表面における完全に詰め込まれたループとテンソルモデルに由来する正則なエッジ彩色グラフとの対応関係を確立すること。
• このモデルにおけるループ展開が、ランク3テンソルモデルの1/N展開と同様の構造を持つことを示すこと。
• メロン型グラフが、ループ数を最大化する構成であることを同定すること。
• テンソルモデルのメロン型セクターに射影するスケーリング極限を導出すること。
• この枠組みを高ランクテンソルモデルに一般化し、(d−1)次元の三角形分割上にフージャシティαを持つループを記述すること。

提案手法

• U(α)行列モデルを用いて、ランダムな表面における完全に詰め込まれた向き付きループを生成すること。
• ループ構成とテンソルモデルに一般的な正則なエッジ彩色グラフとの間の全単射を確立すること。
• ランク3テンソルモデルの1/N展開の観点から、ループ展開を分析すること。
• 特にメロン型支配とスケーリング極限に関する、最近のテンソルモデル文献の結果を応用すること。
• モデルのパラメータを調整することで、メロン型セクターに射影するスケーリング極限を導出すること。
• 高ランクテンソルモデルへの構成の一般化により、(d−1)次元の三角形分割上にフージャシティαを持つループを記述すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全に詰め込まれたループがランダムな表面に描かれるとき、それらとテンソルモデルのグラフ構造とはどのように関係するか？
• RQ2 このループモデルにおいて、メロン型グラフはループ数を最大化するために果たす役割は何か？
• RQ3 テンソルモデルの極限と類似するように、システムをメロン型セクターに射影するスケーリング極限を定義できるか？
• RQ4 テンソルモデルのダブルスケーリング極限は、ランダム表面におけるループ構成の言語でどのように現れるか？
• RQ5 このループ-表面対応関係は、高次元における高ランクテンソルモデルへどのように一般化できるか？

主な発見

• テンソルモデルにおけるメロン型グラフは、まさにランダムな表面における完全に詰め込まれたループ数を最大化する構成である。
• U(α)行列モデルにおけるループ展開は、ランク3テンソルモデルの1/N展開と構造的に同等である。
• システムをメロン型セクターに射影するスケーリング極限が導出され、それが大N極限における支配的性質を確認した。
• テンソルモデルのダブルスケーリング極限は、ランダム表面におけるループモデルの臨界的状態として再解釈された。
• この枠組みは高ランクテンソルモデルへ一般化され、(d−1)次元の三角形分割上にフージャシティαを持つループを生成することができる。