[論文レビュー] Fully Proportional Representation as Resource Allocation: Approximability Results

Piotr Skowron, Piotr Faliszewski+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 8, 2012

Game Theory and Voting Systems参考文献 33被引用数 34

ひとこと要約

この論文は、モノローヌとチェンバーライン・カーラントの多人数選挙制度をリソース配分問題としてモデル化し、選挙人の満足度を最適化する近似可能性を分析している。標準的な複雑性仮定の下で、全満足度の最小化が任意の定数要因内で近似不能であることを証明しているが、ボーダーに基づく満足度測定では、モノローヌの制度に対して期待近似比が0.715に限りなく近い確率的近似アルゴリズムを提示し、チェンバーライン・カーラントの制度に対しては多項式時間近似スキーム（PTAS）を提示している。

ABSTRACT

We model Monroe's and Chamberlin and Courant's multiwinner voting systems as a certain resource allocation problem. We show that for many restricted variants of this problem, under standard complexity-theoretic assumptions, there are no constant-factor approximation algorithms. Yet, we also show cases where good approximation algorithms exist (briefly put, these variants correspond to optimizing total voter satisfaction under Borda scores, within Monroe's and Chamberlin and Courant's voting systems).

研究の動機と目的

• モノローヌおよびチェンバーライン・カーラントの多人数選挙制度をリソース配分問題としてモデル化すること。
• さまざまな不満測定基準の下で、これらの制度における選挙人の満足度最適化の近似可能性を分析すること。
• 全満足度または最大不満度を最小化する定数要因近似アルゴリズムが存在するかどうかを特定すること。
• 特にボーダーに基づく満足度スコアリングの下で、良好な近似アルゴリズムが存在するケースを同定すること。
• モノローヌの制度における全ボーダー満足度最適化の多項式時間近似スキーム（PTAS）の存在を調査すること。

提案手法

• エージェント、代替案、容量、コスト、および好みに基づく満足度を含むリソース配分問題として、モノローヌおよびチェンバーライン・カーラントの制度を形式化すること。
• 不満度を選挙人の好み順序における割り当てられた代替案の順位としてモデル化し、全不満度および最大不満度を最適化目的として定義すること。
• 標準仮定（例：任意の定数要因での近似がNP困難であること）の下で、近似不能性の結果を示すため、複雑性理論的還元を適用すること。
• ボーダーに基づく満足度指標に対して、期待近似比が (1 - 1/(K+1))(1 + 1/m) に達する確率的近似アルゴリズムをモノローヌの制度用に開発すること。
• 最小最大満足度問題の緩和版を提案し、多数のエージェントが最小満足度閾値を満たすことを要件とし、この変種に対する近似アルゴリズムを提供すること。
• 固定パラメータの動的計画法と反復丸め技術を活用して、ボーダーに基づくチェンバーライン・カーラント制度のPTASを構築すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の好みスコアリングの下で、モノローヌおよびチェンバーライン・カーラントの制度における全不満度を最小化する定数要因近似アルゴリズムを設計できるか？
• RQ2 これらの制度における最大不満度を最小化する問題は、任意の定数要因内で近似可能か？
• RQ3 ボーダーに基づく満足度測定では、どのような条件下でモノローヌおよびチェンバーライン・カーラントの制度において良好な近似アルゴリズムが存在するか？
• RQ4 ボーダー満足度を最適化するモノローヌの制度に対して、多項式時間近似スキーム（PTAS）が存在するか？
• RQ5 ボーダースコアリングの下で、確率的アルゴリズムがモノローヌの制度に対して期待近似比が0.715に限りなく近い定数比を達成できるか？

主な発見

• 標準的な複雑性仮定の下で、モノローヌの制度における全不満度の最小化は任意の定数要因内で近似不能である。
• モノローヌおよびチェンバーライン・カーラントの両制度における最大不満度の最小化も、任意の定数要因内で近似不能である。
• ボーダーに基づく満足度の下では、確率的アルゴリズムがモノローヌの制度に対して期待近似比 (1 - 1/(K+1))(1 + 1/m) を達成する。
• ボーダーに基づくチェンバーライン・カーラント制度に対しては、多項式時間近似スキーム（PTAS）が存在し、近似比を1に限りなく近づけることができる。
• 多数のエージェントが最小満足度閾値を満たすことを要件とする最小最大満足度問題の緩和版に対しては、(1 + ln(δ)/K)-近似アルゴリズムが存在する。
• 固定されたKに対して、ボーダーに基づくチェンバーライン・カーラント制度は多項式時間で最適に解けることが示され、PTASの存在を裏付ける。