[論文レビュー] Fully Starlike and Convex Harmonic Mappings of order \alpha

Sumit Nagpal, V. Ravichandran|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2012

Analytic and geometric function theory参考文献 9被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、単一な調和写像における凸性および星型性の遺伝的性質の欠落を解消するため、完全星型および完全凸調和写像の概念を導入し、順序 α (0 ≤ α < 1) を用いる。特定の調和族に対して、完全星型性および完全凸性の順序 α の鋭鋭な半径を確立し、二つの単一な調和凸写像の畳み込みが、非線形方程式の根によって定まる特定のディスク半径内では完全凸の順序 α を保つことを証明する。

ABSTRACT

The hereditary property of convexity and starlikeness for conformal mappings does not generalize to univalent harmonic mappings. This failure leads us to the notion of fully starlike and convex mappings of order \\alpha, (0\\leq \\alpha&lt;1). A bound for the radius of fully starlikeness and fully convexity of order \\alpha is determined for certain families of univalent harmonic mappings. Convexity is not preserved under the convolution of univalent harmonic convex mappings, unlike in the analytic case. Given two univalent harmonic convex mappings f and g, the problem of finding the radius r_{0} such that f*g is a univalent harmonic convex mapping in |z|&lt;r_{0}, is being considered.

研究の動機と目的

• 解析関数における凸性および星型性の遺伝的性質が単一な調和写像では一般化されないという事実に対処する。
• 完全星型および完全凸調和写像の新規クラスを定義し、研究することで、部分ディスクの像が星型または凸のまま保たれることを保証する。
• 二つの単一な調和凸写像 f, g ∈ ℋ₀ᴷ の畳み込み f*g が |z| < r₀ で完全凸の順序 α を保つような最適な半径 r₀ を特定する。
• 極値関数と係数条件を用いて、完全星型性および完全凸性の鋭い半径推定値を確立する。
• 調和半平面上写像 L の極値的挙動に基づき、f*g が |z| < 2−√3 で完全凸であると予想する。

提案手法

• 調和写像における遺伝的幾何的性質の喪失を是正するため、完全星型および完全凸調和写像の順序 α の概念を導入する。
• 二つの調和写像 f = h + ḡ および g = h̃ + g̃̄ の畳み込み（ハダマール積）f*g を用いて、部分ディスクにおける単一性および幾何的性質を分析する。
• 完全凸性の順序 α の半径 s₀(α) を示す重要な方程式 (4.2) を導出する： 2(1−α)(1−r)⁵ + α(1+r)(1−r)² − (1+r)(r²+4r+1) = 0。
• 完全星型性の順序 α の半径 r₀(α) を示す第二の重要な方程式 (4.3) を導出する： 12(1−α)(1−r)⁵ + α(r²+3r+6)(1−r)² − 6(1+r)³ = 0。
• 極値関数として調和コーエル関数 K(z) および調和半平面上写像 L(z) を用いて、半径推定値の鋭さを証明する。
• θ=0 における導関数条件を用いて、|z|=r の像が星型または凸であるときを特定するため、arg f(re^{iθ}) の偏微分 ∂/∂θ(arg f(re^{iθ})) を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 解析関数において成立する凸性および星型性の遺伝的性質は、調和設定でも回復可能か？
• RQ2 二つの単一な調和凸写像 f, g ∈ ℋ₀ᴷ の畳み込み f*g が完全凸の順序 α を保つ最大のディスク |z| < r₀ は何か？
• RQ3 係数の上限 |aₙ| ≤ (1/12)(n+1)²(2n+1) および |bₙ| ≤ (1/12)(n−1)²(2n−1) を満たす調和写像 f = h + ḡ が完全星型の順序 α であるための鋭い半径 r₀(α) は何か？
• RQ4 調和半平面上写像 L の極値的挙動に基づく予想として、f*g が |z| < 2−√3 で完全凸であるとされるが、この半径は最適か？
• RQ5 f₀(z) = 2z − (L*L)(z) のヤコビアンおよび引数変動が、完全凸性の半径推定値 s₀(α) の鋭さをどのように確認するか？

主な発見

• f*g の完全凸性の順序 α の半径は、方程式 (4.2) の実根 s₀(α) で与えられ、α = 0 のとき s₀(0) ≈ 0.0712543 である。
• 完全星型性の順序 α の半径は、方程式 (4.3) の実根 r₀(α) で与えられ、α = 0 のとき r₀(0) ≈ 0.0855165 である。
• 極値関数 f₀(z) = 2z − (L*K)(z) を用いた証明により、完全凸性の結果は鋭いことが示された。この関数のヤコビアンは r = s₀(0) で消える。
• f₀ の引数変動が θ = 0 および r = r₀(0) で α に等しくなることから、星型性の半径推定値の鋭さが確認される。
• ℋ₀ᴷ に属する二つの写像の畳み込み f*g は、|z| < s₀(α) で単一的かつ完全凸の順序 α を保ち、s₀(0) ≈ 0.0712543 である。
• f*g が |z| < 2−√3 ≈ 0.2679 で完全凸であると予想されるが、これは現在の境界 s₀(0) ≈ 0.0712543 よりも大きい。したがって、さらなる改善の余地がある。