[論文レビュー] Function recovery on manifolds using scattered data

David Krieg, Mathias Sonnleitner|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2021

Numerical methods in inverse problems被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、コンpactなリーマン多様体上での散乱サンプリング点の質を、ソボレフ関数回復の文脈で鋭く特徴づける。最悪ケースの回復誤差は、$L_\gamma(M)$-平均（$\gamma = d/s$、$s > d/p$）としての測地線距離に支配され、確率的サンプリングが$\gamma < \infty$のとき漸近的に最適なサンプリングと同等に有効であることを示し、数値積分公式の効率に関する対数的ギャップを埋める。

ABSTRACT

We consider the task of recovering a Sobolev function on a connected compact Riemannian manifold $M$ when given a sample on a finite point set. We prove that the quality of the sample is given by the $L_γ(M)$-average of the geodesic distance to the point set and determine the value of $γ\in (0,\infty]$. This extends our findings on bounded convex domains [IMA J. Numer. Anal., 44:1346--1371, 2024]. As a byproduct, we prove the optimal rate of convergence of the $n$-th minimal worst case error for $L_q(M)$-approximation for all $1\le q \le \infty$. Further, a limit theorem for moments of the average distance to a set consisting of i.i.d.\ uniform points is proven. This yields that a random sample is asymptotically as good as an optimal sample in precisely those cases with $γ&lt;\infty$. In particular, we obtain that cubature formulas with random nodes are asymptotically as good as optimal cubature formulas if the weights are chosen correctly. This closes a logarithmic gap left open by Ehler, Gräf and Oates [Stat. Comput., 29:1203-1214, 2019].

研究の動機と目的

• コンパクトなリーマン多様体上での散乱データからのソボレフ関数回復における最悪ケース誤差を特徴づける。
• 回復誤差がサンプリング点の分布、特にその空間的広がりに依存する要因を特定する。
• 確率的サンプリングが最適に選ばれたサンプリング点と漸近的に同等に有効である条件を確立する。
• 最適なものと比較して確率的積分公式の効率に生じる対数的ギャップを埋める。

提案手法

• 関数の正則性をモデル化するために、コンパクトなリーマン多様体上でのベッセル潜在力（ソボレフ）空間$H^s_p(M)$を用いる。
• 一般および線形再構成写像の両方に対して、$L_q(M)$-ノルムにおける最悪ケース回復誤差を定義する。
• 多様体上のある点からサンプリング集合$P$までの測地線距離の$L_\gamma(M)$-平均に基づく幾何的品質指標を導入する。
• 回復誤差が、$\gamma = d/s$の下で、この$L_\gamma$-平均の距離と定数倍の意味で等価であることを証明する。
• 独立同分布の均一サンプリング点に対して、確率的および幾何的議論を用いて平均距離のモーメントを分析する。
• 優越収束定理およびライプニッツの微分定理を適用し、モーメント生成関数の収束を示し、確率的サンプリングと最適サンプリングの漸近的同等性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトなリーマン多様体上でのソボレフ関数回復における最悪ケース誤差を決定する散乱点集合の幾何的性質は何か？
• RQ2 確率的サンプリングが関数回復において漸近的に最適なサンプリングと同等に有効であるのは、どの$\gamma$値のときか？
• RQ3 適切に選ばれた重みを用いた場合、確率的ノードを備えた積分公式の誤差は最適な公式のものと一致するか？
• RQ4 $L_\gamma$-平均の測地線距離は、散乱データの近似能力とどのように関係するか？

主な発見

• 関数$H^s_p(M)$に対する最悪ケース回復誤差は、$\gamma = d/s$の下で、サンプリング集合への測地線距離の$L_\gamma(M)$-平均と等価である。
• $\gamma < \infty$のとき、確率的サンプリングは関数回復において漸近的に最適なサンプリングと同等に有効である。
• 重みを適切に選べば、確率的ノードを用いた積分公式は、最適な積分公式と同等の漸近的誤差率を達成する。
• 平均距離のモーメントに関する極限定理により、$\gamma < \infty$の範囲で確率的点集合が最適な漸近的性能を達成することが確認される。
• 本結果は、凸領域に関する先行研究を一般のコンパクトなリーマン多様体（球面やその他の曲がった空間を含む）に拡張する。
• すべての有限点集合$P$に対して、$e(P, H^s_p(M), L_q(M)) \asymp \| \operatorname{dist}_M(\cdot, P) \|_{L_\gamma(M)}$の等価性が一様に成り立つ。