[論文レビュー] Function spaces and capacity related to a Sublinear Expectation: application to G-Brownian Motion Pathes

Laurent Denis, Mingshang Hu+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2008

Risk and Portfolio Optimization参考文献 14被引用数 45

ひとこと要約

本稿は、$L^1_G(\Omega)$ を、$G$-期待値の下で一様可積分性条件を満たす擬連続版を持つ確率変数の空間として同定する。また、$L_{ip}(\Omega)$ の $\mathbb{E}[\cdot]$-ノルム完備化が $C_b(\Omega)$ の $\hat{\mathbb{E}}[\cdot]$-完備化と一致することを証明し、非線形期待値理論における基礎的問題を解決するとともに、ボラティリティの不確実性下でのパス依存的リスク測度への応用を可能にする。

ABSTRACT

In this paper we give some basic and important properties of several typical Banach spaces of functions of $G$-Brownian motion pathes induced by a sublinear expectation--G-expectation. Many results can be also applied to more general situations. A generalized version of Kolmogorov's criterion for continuous modification of a stochastic process is also obtained. The results can be applied to continuous time dynamic and coherent risk measures in finance in particular for path-dependence risky positions under situations of volatility model uncertainty.

研究の動機と目的

• $L^1_G(\Omega)$ の要素が、擬連続版を持つ可測な確率変数として同定可能かどうかという基礎的問題を解決すること。
• 非線形期待値枠組みにおいて、$L_{ip}(\Omega)$ および $C_b(\Omega)$ の $\mathbb{E}[\cdot]$-ノルム完備化を特徴付けること。
• G-ブラウン運動の文脈において、連続的修正のための一般化されたコルモゴロフの基準を確立すること。
• ファイナンスにおけるボラティリティの不確実性下での動的かつ一貫性のあるリスク測度のための、厳密な関数解析的基盤を構築すること。

提案手法

• 家族 $\mathscr{P}$ の確率測度上の線形期待値の上界として $G$-期待値を表現する。
• コンパクト部分集合上の有界連続関数を $L_{ip}$ 関数によって近似するために、Stone-Weierstrass の定理を適用する。
• 確率族 $\mathscr{P}$ のtightnessを用いて、容量を制御する近似列を構成する。
• 擬連続性の概念を導入し、容量 $c(A) = \sup_{P \in \mathscr{P}} P(A)$ を用いて擬確実な性質を定義する。
• $L^1_G(\Omega_T)$ と、$\lim_{n \to \infty} \hat{\mathbb{E}}[|X| \mathbf{1}_{\{|X| > n\}}] = 0$ を満たす擬連続版を持つ確率変数の空間との同値性を確立する。
• $L^1_G(\Omega)$ 上ですべての $X$ に対して $\mathbb{E}[X] = \hat{\mathbb{E}}[X]$ が成り立つことを証明し、$G$-期待値とロバストなスーパー期待値を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての $L^1_G(\Omega)$ 要素は、$\mathscr{F}$-可測な確率変数として、擬連続版を持つと同定可能か？
• RQ2 $L_{ip}(\Omega)$, $C_b(\Omega)$, $B_b(\Omega)$ の $\mathbb{E}[\cdot]$-完備化の間の関係は何か？
• RQ3 $G$-期待値は、$L^1_G(\Omega)$ 上でロバストなスーパー期待値 $\hat{\mathbb{E}}[X] = \sup_{P \in \mathscr{P}} E_P[X]$ と一致するか？
• RQ4 非線形期待値枠組みにおいて、連続的修正のための一般化されたコルモゴロフ基準を確立できるか？
• RQ5 容量 $c(A)$ と $\bar{c}(A)$ はどのように関係し、$L^1_G$ 空間の特徴付けにおいて果たす役割は何か？

主な発見

• $L^1_G(\Omega_T)$ は、すべての $X \in L^0(\Omega_T)$ で、擬連続版を持ち、$\lim_{n \to \infty} \hat{\mathbb{E}}[|X| \mathbf{1}_{\{|X| > n\}}] = 0$ を満たすものの集合として特徴付けられる。
• $L_{ip}(\Omega_T)$ の $\mathbb{E}[\cdot]$-ノルム完備化は、$C_b(\Omega_T)$ の $\mathbb{E}[\cdot]$-ノルム完備化と一致する。これは、$L^1_G(\Omega_T)$ が $C_b(\Omega_T)$ の $\hat{\mathbb{E}}[\cdot]$ に関する閉包であることを示している。
• すべての $X \in L^1_G(\Omega)$ に対して、$G$-期待値は $\mathbb{E}[X] = \hat{\mathbb{E}}[X] = \sup_{P \in \mathscr{P}} E_P[X]$ を満たす。
• $L_{ip}(\Omega)$ の $\mathbb{E}[\cdot]$-完備化は、$B_b(\Omega)$ の $\mathbb{E}[\cdot]$-完備化の真部分集合である。これは関数空間の完備化における階層構造を示している。
• 容量 $c(A)$ と $\bar{c}(A)$ は擬連続性に関して同値であるため、関数が $c$-擬連続であることは、$\bar{c}$-擬連続であることと同値である。
• G-期待値の文脈において、連続的修正のための一般化されたコルモゴロフ基準が確立され、古典的結果が非線形設定へ拡張された。