[論文レビュー] Functional approach to coherent states in non commutative theories

Musongela Lubo|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2003

Noncommutative and Quantum Gravity Theories被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、非可換理論における両立状態を構成するための変分原理を提案する。この原理は、非自明なハイゼンベルクの不確定性関係の二乗和を最小化することで、標準量子力学におけるガウス状態や超幾何状態を一般化する。この方法により、4次元非可換モデル（最小長不確定性や定数位置非可換関係を有するものも含む）において、2階偏微分方程式が得られ、解析的解が得られる。また、調和振動子における周期性の破れを引き起こす構造的差異が明らかになる。

ABSTRACT

In many high dimensional noncommutative theories, no state saturates simultaneously all the non trivial Heisenberg uncertainty relations. This differs from the usual theory where the squeezed states possess this property. The important role played by these states when recovering classical mechanics as a limit of quantum theory makes necessary the investigation of the possible generalizations in the noncommutative context. We propose an extension based on a variational principle. The action considered is the sum of the squares of the terms associated to the non trivial Heisenberg uncertainty relations. We first verify that our proposal works in the usual theory: we find the known gaussian functions and, besides them, other states which can be expressed as products of gaussians with specific hypergeometrics. We illustrate our construction in three models defined on a four dimensional phase space: two models endowed with a minimal length uncertainty and the popular case in which the commutators of the positions are constants. In these three models, our proposal leads to second order partial differential equations. We find analytical solutions in specific cases. We briefly discuss how our method may be applied to the fuzzy sphere. To emphasize that the recovering of classical behaviours is not a trivial question in the non commutative context, we show how the difference of structure between the Poisson brackets and the commutators in the theories analyzed here generically leads to a loss of periodicity for the harmonic oscillator.

研究の動機と目的

• 高次元非可換理論において、非自明なハイゼンベルクの不確定性関係を同時に満たす状態が存在しない問題を解決すること。これは、標準量子力学とは対照的である。
• 古典的極限の回復に不可欠なスケーリング状態の役割を、非可換枠組み内に一般化すること。
• 従来の手法が失敗する非可換理論における両立状態の構成に、体系的な方法を開発すること。
• ポisson括弧と非可換関係の構造的差異が、古典的振る舞い（特に調和振動子における周期性）に与える影響を調査すること。

提案手法

• 非自明なハイゼンベルクの不確定性関係の項の二乗和を最小化する変分原理を定式化する。
• 作用原理を適用し、非可換モデルにおける両立状態を記述する2階偏微分方程式を導出する。
• 最小長不確定性または定数位置非可換関係を有する4次元位相空間の特定のケースにおいて、得られた方程式を解析的に解く。
• 標準量子力学的極限において既知のガウス状態や超幾何状態を再現することで、手法の妥当性を検証する。
• 非可換幾何学への応用可能性を検討し、例えばフラットな球面（fuzzy sphere）への応用を含む。
• ポアソン括弧と非可換関係の比較を通じて古典的極限を分析し、調和振動子における周期性の喪失を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一様な変分原理が、標準量子力学におけるスケーリング状態に類似した複数の不確定性関係を同時に満たす非可換理論における両立状態を生成できるか？
• RQ2 非可換理論におけるポアソン括弧と非可換関係の構造的差異が、特に調和振動子における古典的極限（周期性）に与える影響は何か？
• RQ3 最小長不確定性を有する非可換モデルにおいて、導出された2階偏微分方程式から得られる解析的解は何か？
• RQ4 この手法は、フラットな球面のような非可換幾何学へと拡張可能か？
• RQ5 提案された形式的枠組みは、非可換設定における古典力学の回復にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 変分的手法は、可換極限において標準的なガウス状態や超幾何状態を正確に再現でき、既知の量子力学と整合していることが検証された。
• 本手法により、3つの非可換モデル（最小長不確定性を有する2つと、定数位置非可換関係を有する1つ）において、2階偏微分方程式が得られた。
• 提案されたモデルの特定のケースにおいて、解析的解が得られ、手法の取り扱いやすさが示された。
• この枠組みにより、非可換理論におけるポアソン括弧と非可換関係の差異が、一般に調和振動子における周期性の喪失を引き起こすことが明らかになった。これは、古典的回復の挑戦を示唆する。
• 本手法は、通常、すべての不確定性関係を同時に満たす状態が存在しない非可換理論において、両立状態を体系的に構成する道筋を提供する。