[論文レビュー] Functional Central Limit Theorem For Susceptible-Infected Process On Configuration Model Graphs

Wasiur R. KhudaBukhsh, Casper Woroszylo+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 18, 2017

Complex Network Analysis Techniques参考文献 45被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、構成モデルランダムグラフ上の感受性・感染性（SI）疫学的過程に対して、関数中心極限定理（FCLT）を確立する。頂点数が増加するにつれ、感受性個体数、感染個体数、SIエッジ数、SSエッジ数のスケーリングされたカウントは、弱収束し、連続的なガウス型ベクトル半マルティンゲールに収束し、複雑なネットワーク上の疫学的ダイナミクスの拡散近似を提供する。

ABSTRACT

We study a stochastic compartmental susceptible-infected (SI) epidemic process on a configuration model random graph with a given degree distribution over a finite time interval $[0,T],$ for some $ T>0$. In this setting, we split the population of graph nodes into two compartments, namely, $S$ and $I$, denoting the susceptible and infected nodes, respectively. In addition to the sizes of these two compartments, we study counts of $SI$-edges (those connecting a susceptible and an infected node) and $SS$-edges (those connecting two susceptible nodes). We describe the dynamical process in terms of these counts and present a functional central limit theorem (FCLT) for them, a scaling limit of the dynamical process as $n$, the number of nodes in the random graph, grows to infinity. To be precise, we show that these counts, when appropriately scaled, converge weakly to a continuous Gaussian vector martingale process the usual Skorohod space of real 3-dimensional vector-valued \cadlag\, functions on $[0,T]$ endowed with the Skorohod topology. We assume certain technical requirements for this purpose. We discuss applications of our FCLT in percolation theory (from a non-equilibrium statistical mechanics point of view), and in computer science in the context of spread of computer viruses. We also provide simulation results for some common degree distributions.

研究の動機と目的

• 構成モデル（CM）ランダムグラフ上のSI疫学的過程のための関数中心極限定理（FCLT）を導出すること。
• 有限時間の確率過程において、感受性／感染性個体およびエッジタイプ（SI、SS）の連合ダイナミクスをモデル化すること。
• 関数法則大数の法則（FLLN）極限の周囲のスケーリングされたフラクチュエーションの弱収束を、ガウス型半マルティンゲールに確立すること。
• スパarsな不均一ネットワークにおける確率的疫学的ダイナミクスの厳密なスケーリング極限を提供すること。
• 拡散近似を通じて、パーコレーション理論やコンピュータウイルスモデルの応用を支援すること。

提案手法

• 状態変数の集約表現によりプロセスを記述する：$X_S(t)$（感受性個体数）、$X_{SI}(t)$（SIエッジ数）、$X_{SS}(t)$（SSエッジ数、重複数え）。
• フラクチュエーションプロセス $Y(t) = \sqrt{n}(n^{-1}X(t) - x(t))$ を分析する。ここで $x(t)$ は常微分方程式系のFLLN極限解である。
• 局所的に二階可積分なマルティンゲールに対するRebolledoの定理を適用し、予測可能および任意の二次変動プロセスの収束を要請する。
• 証明は、次の3条件の検証に依存する：予測可能二次変動 $\langle M_n \rangle \to V$ の収束、任意の二次変動 $[M_n] \to V$ の収束、および無視可能なジャンプ寄与 $\langle M_n^{(\epsilon)} \rangle \to 0$。
• 極限プロセスは、$[0,T]$ 上の右連続で左極限をもつ関数（cadlag）の空間 $D^{(3)}$ における3次元連続ガウス型ベクトル半マルティンゲールである。
• 度数分布および初期条件に関する技術的仮定により、一般設定下での収束が保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 構成モデルグラフ上の感受性個体およびSI／SSエッジの連合プロセスは、ネットワークサイズが増加する際に、関数中心極限定理を満たすか？
• RQ2 SI疫学的過程の流体極限周囲のフラクチュエーションは、拡散プロセスによって近似可能か？
• RQ3 FCLTが成立するための度数分布および初期状態の必要十分条件は何か？
• RQ4 エッジタイプ（SIおよびSS）のカウントは、疫学的拡散の拡散近似にどのように寄与するか？
• RQ5 極限ガウス型プロセスは、コンピュータウイルス伝播やパーコレーションといった現実世界の現象をモデル化するために使用可能か？

主な発見

• スケーリングプロセス $\sqrt{n}(n^{-1}X(t) - x(t))$ は、$[0,T]$ 上のスコロホド位相において、連続的なガウス型ベクトル半マルティンゲールに弱収束する。
• 極限プロセスは、連続的かつ決定的である予測可能二次変動行列 $V(t)$ を有し、正定値または半正定値の増分を持つ。
• 度数分布に関する技術的仮定（有限な2次モーメント、初期構成の正則性など）のもとで収束が成立する。
• FCLTは、パワーロー法やポアソン分布を含む一般度数分布に対しても適用可能であり、シミュレーション結果により妥当性が検証された。
• 極限ガウス型プロセスは、 compartment サイズおよびエッジタイプの連合フラクチュエーションを捉え、疫学的ダイナミクスの統計的推論およびシミュレーションを可能にする。
• 本結果は、ネットワーク疫学およびパーコレーション理論における拡散近似の厳密な基礎を提供する。