[論文レビュー] Functional central limit theorems for epidemic models with varying infectivity

Guodong Pang, Étienne Pardoux|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2020

COVID-19 epidemiological studies参考文献 25被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、感染年齢に応じて変動する感染性を有する確率的疫学モデルに対して、関数中心極限定理（FCLT）を確立する。個々の感染性は感染年齢の確率的関数としてモデル化される。感受性、感染性、回復者プロセスの拡散スケール化された摂動の極限は、2次元のガウス駆動型確率的ボルテラ積分方程式の解として特徴づけられ、古典的なFCLTを一般の感染期間分布を有する非マルコフ的かつ感染年齢依存の設定に拡張する。

ABSTRACT

In this paper, we prove functional central limit theorems (FCLTs) for a stochastic epidemic model with varying infectivity and general infectious periods recently introduced in Forien, Pang and Pardoux (2020).The infectivity process (total force of infection at each time) is composed of the independent infectivity random functions of each infectious individual, which starts at the time of infection. These infectivity random functions induce the infectious periods (as well as exposed, recovered or immune periods in full generality), whose probability distributions can be very general. The epidemic model includes the generalized non-Markovian SIR, SEIR, SIS, SIRS models with infection-age dependent infectivity. In the FCLTs for the generalized SIR and SEIR models, the limits of the diffusion-scaled fluctuations of the infectivity and susceptible processes are a unique solution to a two-dimensional Gaussian-driven stochastic Volterra integral equations, and then given these solutions, the limits for the infected (exposed/infectious) and recovered processes are Gaussian processes expressed in terms of the solutions to those stochastic Volterra integral equations. We also present the FCLTs for the generalized SIS and SIRS models.

研究の動機と目的

• 感染年齢に依存する感染性を有する疫学モデルへの関数中心極限定理（FCLT）の拡張を目的とする。ここで感染性は時間とともに確率的に変動する。
• 一般化されたSIRおよびSEIRモデルにおける感受性、感染性、回復者プロセスの連合拡散スケール化摂動を、その決定的極限の周囲で特徴づけること。
• 極限摂動が2次元のガウス駆動型確率的ボルテラ積分方程式に従うことを確立し、変動する感染性および隔離状態遷移のダイナミクスを捉えること。
• 一般の感染期間分布を有する非マルコフ的疫学過程における確率的摂動をモデル化するための厳密な数学的枠組みを提供すること。
• 正則性条件の下で、スケーリングされたプロセスが右連続で左極限を有する関数空間（cadlag）において収束することを示すこと。

提案手法

• 感染年齢の関数としての個々の感染性を、同一分布に従う確率的関数としてモデル化する。初期値は0または正の値とし、区分的連続で、有限個の不連続点を持つものとする。
• 右連続で左極限を有する関数空間上のポアソン確率測度（PRM）を用い、感染症患者の到来および感染性経路を表現する。
• 集計感染性プロセスを、決定的極限と摂動項に分解する。マーチングール成分を扱うために、補正済みPRMを用いる。
• 収束解析を容易にするために、確率的感染性率をその決定的極限に置き換えた補助プロセスを構築する。
• 確率的過程の上界に関するモーメント推定およびD([0,∞);ℝ)におけるタイトネス基準を用い、スケーリングされたプロセスの弱収束を証明する。
• 感受性および感染性プロセスの連合ダイナミクスの極限としての確率的ボルテラ積分方程式を導出する。残りの状態変数は、これらの解の関数的表現として与えられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 感染性が感染年齢に応じて変動し、かつマルコフ的でない場合、疫学的ダイナミクスにおける確率的摂動はどのように振る舞うか？
• RQ2 感染年齢依存の感染性を有する一般化されたSIRモデルにおいて、感受性、感染性、回復者プロセスの拡散スケール化されたプロセスの極限分布は何か？
• RQ3 感受性および感染性プロセスの連合収束は、ガウス駆動型確率的ボルテラ積分方程式によって特徴づけられるか？
• RQ4 SEIRモデルにおける潜伏（E）および感染性（I）状態の組み込みは、SIRモデルと比較してFCLTをどのように精緻化するか？
• RQ5 スケーリングされた疫学的プロセスの弱収束を保証するための感染性関数および分布に必要な条件は何か？

主な発見

• 感受性および感染性プロセスの極限的拡散スケール化摂動は、2次元のガウス駆動型確率的ボルテラ積分方程式によって一意に定まる。
• 感染性（および潜伏／感染性）および回復者プロセスの極限は、確率的ボルテラ方程式の解の関数的表現として与えられ、決定的極限が連続であれば、パスワイズ連続性が保証される。
• FCLTの駆動ガウス過程は初期摂動とは独立であり、S = 1 - I - RのSEIRモデルにおけるそれらと同一の共分散構造を持つ。
• 感染性関数にややきつい正則性条件（区分的連続性および有限個の不連続点）が課されれば、FCLTは成り立つ。
• 収束は[0,∞)上の右連続で左極限を有する関数空間において確立され、モーメント推定および[4]の定理13.5の修正版によりタイトネスが保証される。
• 本研究の結果は、感染年齢依存の感染性および一般の感染期間分布を組み込んだ非マルコフ的SIRおよびSEIRモデルに対する古典的FCLTを一般化する。