[論文レビュー] Functional composition of polynomials: indecomposability, Diophantine equations and lacunary polynomials

Dijana Kreso, Robert F. Tichy|arXiv (Cornell University)|Mar 18, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 43被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、体上の多項式の関数的分解を調査し、非分解可能性の基準、f(x) = g(y) の形のディオファントス方程式、および僅少項多項式（少ない項数を持つ多項式）に焦点を当てる。Galois理論的アプローチを用いてRittの古典的定理を拡張し、四項式の分解可能性に関する新しい基準を提示する。その結果、f(x) = a₁xⁿ¹ + a₂xⁿ² + a₃xⁿ³ + a₄ が分解可能であるのは、f(x) = g(h(x)) と書けるときであり、h(x) = xᵏ かつ g が xᵏ に関する多項式であるとき、かつそのときに限る。ここで k は gcd(n₁, n₂, n₃) を割り切る。

ABSTRACT

Starting from Ritt's classical theorems, we give a survey of results in functional decomposition of polynomials and of applications in Diophantine equations. This includes sufficient conditions for the indecomposability of polynomials, the study of decompositions of lacunary polynomials and the finiteness criterion for the equations of type f(x) = g(y).

研究の動機と目的

• 体のさまざまな分野へのRittの古典的結果の拡張を含む、多項式の関数的分解の包括的サーベイを提供すること。
• 特に僅少項多項式および四項式形の多項式の非分解可能性の十分条件を確立すること。
• Bilu-Tichy基準を適用して、f(x) = g(y) が無限個の整数解を持つ場合を分類すること。
• 少ない項数（僅少項）を持つ多項式の分解構造、特に四項式の分解を分析すること。
• 有理関数および代数的関数の関数的分解における項数の上限に関する結果を一般化すること。

提案手法

• 多項式の分解問題を体論的および群論的問題に翻訳するため、RittのGalois理論的枠組みを用いる。
• 完全な分解が隣接する非分解可能因子の有限変換の意味で一意であることを示すために、Rittの分解定理（定理2.1）を適用する。
• f(x) = g(y) の整数解の有限性を、f と g の構造に基づいて決定するためにBilu-Tichy基準を適用する。
• h(x) がモニックで h(0) = 0 であると仮定し、f(x) = ∏(h(x) - xᵢ)ᵃⁱ の因数分解を研究することで、四項式における関数的合成 f(x) = g(h(x)) を分析する。
• h(x) - xᵢ の根の次数と重複度に関する議論により、h(x) の可能な形を制約し、h(x) が単項式 xᵏ でなければならないことを証明する。
• 有理関数および代数的方程式における関数的分解の項数の上限に関するZannierおよびFuchs-Zannierの結果を応用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 僅少項多項式、特に四項式が関数的に分解可能となる条件は何か？
• RQ2 Bilu-Tichy基準をどのように適用すれば、f(x) = g(y) が無限個の整数解を持つ場合を特定できるか？
• RQ3 f が少ない項数を持ち、h が単項式でない場合、関数的分解 f(x) = g(h(x)) の構造はどのようなものか？
• RQ4 h が少ない項数を持つとき、g(h(x)) の項数をどの程度まで制限できるか。例外的な場合とは何か？
• RQ5 関数的合成 f(x) = g(h(x)) における根の次数と重複度は、h(x) の可能な形をどの程度制約するか？

主な発見

• 四項式 f(x) = a₁xⁿ¹ + a₂xⁿ² + a₃xⁿ³ + a₄ が分解可能であるのは、f(x) = g(h(x)) と書けるときであり、h(x) = xᵏ かつ g(x) = a₁xⁿ¹ᐟᵏ + a₂xⁿ²ᐟᵏ + a₃xⁿ³ᐟᵏ + a₄ であるとき、かつそのときに限る。ここで k は gcd(n₁, n₂, n₃) を割り切る。
• h(x) が単項式でない場合、合成における根の重複度が制約を生じさせ、h(x) が単項式である場合を除き矛盾に至る。
• h(x) の項数が増加するにつれて、g(h(x)) の項数は無限大に近づくが、h(x) が単項式である場合を除いてはそうならない。
• f が高々 ℓ 項を持つ有理関数 f(x) = g(h(x)) に対して、g の次数は ℓ の関数として有界であり、有限個の例外を除いて成り立つ。
• 四項式 f(x) = g(h(x)) の分解において、h(x) ≠ xᵏ であれば、根の重複度の議論により α₁ ≤ 2 が導かれ、h(x) が単項式である場合を除き矛盾が生じる。
• lα₁ = n₃ および g(h(x)) の展開における次数比較から、n₁ + n₃ ≤ 2n₂ が導かれる。これは、指数が一般位置にあるという仮定に反するが、h(x) が単項式である場合に限る。