[論文レビュー] Functional equations for double series of Euler-Hurwitz-Barnes type with coefficients

YoungJu Choie, Kohji Matsumoto|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2014

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ひとこと要約

本稿では、コンフラuent超幾何関数とモジュラー関係を用いて、複素係数をもつEuler-Hurwitz-Barnes型二重級数のための2つの新しい関数方程式を確立する。最初の式は一般に成り立ち、2番目の式は係数が尖型形式のフーリエ係数である場合に成り立ち、多重ゼータ関数における双対性対称性を拡張する。

ABSTRACT

We first survey the known results on functional equations for the double zeta-function of Euler type and its various generalizations. Then we prove two new functional equations for double series of Euler-Hurwitz-Barnes type with complex coefficients. The first one is of general nature, while the second one is valid when the coefficients are Fourier coefficients of a cusp form.

研究の動機と目的

• 古典的ケースを超えた多重ゼータ関数の関数方程式を拡張すること、特にEuler-Hurwitz-Barnes型二重級数に対して。
• リーマンゼータ関数の対称的双対性を、複素係数をもつ高次元ゼータ関数へ一般化する関数方程式を導出すること。
• 尖型形式のフーリエ係数に係数を制限することにより、モジュラー形式の役割を調査し、自動形式と多重ゼータ関数を結びつけること。
• 積分表現とメリン変換を用いて、関連特殊関数のメロモルフィックな拡張と変換法則を確立すること。

提案手法

• 一般化されたディリクレ級数 $ F_{\pm} $ の表現において、コンフラuent超幾何関数 $ \Psi(a,c;x) $ を主要な構成要素として用い、解析接続を可能にする。
• 関係式 $ \Psi(a,c;x) = x^{1-c}\Psi(a-c+1,2-c;x) $ を用いて、$ F_{\pm} $ の変換法則を導出し、関数方程式に不可欠な役割を果たす。
• 尖型形式のフーリエ係数から構築された生成関数 $ \widetilde{\mathcal{F}}(\tau,s,\alpha) $ を含む積分表現を用いて、$ H_{2,N}^{\pm} $ を表現する。
• メリン逆変換とベータ積分の公式を用いて、積分を $ \Gamma $-関数と $ L $-関数を含む三重積分に変換し、メロモルフィックな拡張を可能にする。
• 輪郭変形と解析接続技術を適用して、初期領域を超えて収束領域を拡大し、より広い半平面上でも有効であることを保証する。
• 関数方程式 $ F_{\pm} $ とモジュラー記号構造を活用して、$ \zeta_2(s_1,s_2;\alpha,\beta,\omega) $ の最終的な関数方程式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素係数をもつEuler-Hurwitz-Barnes型二重級数に対して、既知の単変数ゼータ関数の結果を一般化した関数方程式を確立できるか？
• RQ2 $ (s_1,s_2) $ と $ (1-s_2,1-s_1) $ の間の双対性は、これらの二重級数においてどのように現れるのか。パラメータ $ \alpha, \beta, \omega $ の役割は何か？
• RQ3 係数が尖型形式のフーリエ係数である場合に成り立つ関数方程式は何か。これはモジュラー形式と $ L $-関数とどのように関係するか？
• RQ4 積分変換と $ \Gamma $-関数の恒等式を用いて、関連特殊関数 $ H_{2,N}^{\pm} $ のメロモルフィックな拡張を確立できるか？
• RQ5 係数系にモジュラー記号とコンフラuent超幾何関数を含む場合、関数方程式の正確な構造は何か？

主な発見

• 一般関数方程式が $ \zeta_2(s_1,s_2;\alpha,\beta,\omega) $ に対して確立され、$ F_{\pm}(1-s_2,1-s_1;\beta,\alpha,\omega) $ の和を含む。$ (s_1,s_2) $ と $ (1-s_2,1-s_1) $ の間の対称的双対性に加え、$ (\alpha,\beta) $ と $ (\beta,\alpha) $ の間の双対性も成立する。
• 係数が尖型形式のフーリエ係数である場合、条件 $ \sigma_1 < 0, \sigma_2 < (\kappa-1)/2 $ の下で関数方程式が成り立ち、理論が自動形式へ拡張される。
• $ H_{2,N}^{\pm} $ のメロモルフィックな拡張は、メリン逆変換と輪郭変形を用いて証明され、$ \widetilde{\mathcal{F}} $、$ \Gamma $-関数、$ L $-関数を含む積分表現に基づく。
• 関数方程式には、ゼータ級数の解析的構造に起因する、$ \Gamma(1-s_1) $、$ \omega^{1-s_1-s_2} $、および $ \phi(s_1+s_2-1,\beta) $ を含む追加項が含まれる。
• $ F_{\pm}(1-s_2,1-s_1;\beta,\alpha,\omega) = (\pm 2\pi i\omega)^{s_1+s_2-1} F_{\pm}(s_1,s_2;\alpha,\beta,\omega) $ という変換法則が導出され、主関数方程式の検証に用いられる。
• 最終的な関数方程式は領域 $ \sigma_1 < 0, \sigma_2 < (\kappa-1)/2 $ で有効であり、$ H_{2,N}^{\pm} $ のメロモルフィックな拡張により、全体の式の正則性が保証される。