[論文レビュー] Functional inequalities derived from the Brunn-Minkowski inequalities for quermassintegrals

Andrea Colesanti, Eugenia Saor|ArXiv.org|Apr 24, 2008

Point processes and geometric inequalities参考文献 7被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、quermassintegrals における Brunn-Minkowski 不等式を用いて、単位球面および $\mathbb{R}^n$ 内の滑らかな凸体の境界上で、新たな Poincaré 型不等式を導出する。これは、面積測度に関するゼロ平均条件の下で最適な重み付き $L^2$-ノルム不等式を確立し、古典的な Poincaré 不等式を拡張するとともに、高次元における Wirtinger の不等式を一般化する。

ABSTRACT

We use Brunn-Minkowski inequalities for quermassintegrals to deduce a family of inequalities of Poincaré type on the unit sphere and on the boundary of smooth convex bodies in the $n$-dimensional Euclidean space.

研究の動機と目的

• quermassintegrals から導かれる幾何的測度条件に置き換えて、標準的なゼロ平均条件を用いた古典的 Poincaré 不等式および Wirtinger 不等式を拡張すること。
• 単位球面 $\mathbb{S}^{n-1}$ および $\mathbb{R}^n$ 内の $C^2_+$ 凸体の境界上で、最適な Poincaré 型関数不等式を確立すること。
• Lebesgue 測度を凸体 $K$ の第一面積測度 $A_1(K,\cdot)$ に置き換えることで、古典的 Poincaré 不等式を一般化すること。
• 測度が凸体の第一面積測度であるための十分条件を提供し、導出された不等式をより広い幾何的文脈に応用可能にする。
• quermassintegrals および Weingarten 表現の基本対称関数の理論を通じて、先行研究における Brunn-Minkowski 不等式および関数不等式の結果を統一・一般化すること。

提案手法

• quermassintegrals $W_i(K)$ における Brunn-Minkowski 不等式を用い、$W_i^{1/(n-i)}$ が凸体の族上で凹関数であることを用いる。
• 支持関数および第二共変微分を用いた quermassintegrals の積分表現を用いる。具体的には $W_i(K) = c(n,i) \int_{\mathbb{S}^{n-1}} h_K S_{n-i-1}((h_K)_{ij} + h_K \delta_{ij}) \, d\mathscr{H}^{n-1}$ である。
• 関数 $W_i^{1/(n-i)}$ の凹性に基づく第二変分の議論を適用し、Weingarten 表現 $D\nu$ の基本対称関数 $S_r$ を含む曲率型条件を導出する。
• Gauss 写像を用いて、境界 $\partial K$ 上の不等式を球面 $\mathbb{S}^{n-1}$ 上に翻訳し、不等式の双対形を確立する。
• Christoffel 問題および Guan, Ma, Sheng, Trudinger, Wang の最近の結果を用いて、与えられた測度が第一面積測度 $A_1(K,\cdot)$ であるための条件を特定し、不等式を滑らかでない状況へと拡張可能にする。
• Blaschke 選択定理および面積測度の弱収束を用い、$C^2_+$ 凸体の近似から極限凸体 $L$（径数関数 $\rho_K = 1/h_H$ を持つ）へと移行する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 quermassintegrals における Brunn-Minkowski 不等式を用いて、球面および凸体の境界上で新たな Poincaré 型不等式を導出できるか？
• RQ2 球面 $\mathbb{S}^{n-1}$ 上の測度 $\mu$ が凸体 $K$ の第一面積測度 $A_1(K,\cdot)$ として現れるための正確な幾何的条件は何か？
• RQ3 ゼロ平均条件を $A_1(K,\cdot)$ を含む重み付き平均条件に置き換えた場合、$\mathbb{S}^{n-1}$ 上の古典的 Poincaré 不等式はどのように一般化できるか？
• RQ4 $A_1(K,\cdot)$ を測度とする一般化された Poincaré 不等式における最適定数は何か？また、この定数は鋭いか？
• RQ5 $\mathbb{S}^{n-1}$ 上の正の関数 $f$ に対して、$dA_1(L,\cdot) = f \, d\mathscr{H}^{n-1}$ を満たす凸体 $L$ が存在するための条件は何か？

主な発見

• 本稿は、Weingarten 表現の基本対称関数を含むゼロ平均条件の下で、$\partial K$ および $\mathbb{S}^{n-1}$ 上に最適な Poincaré 型不等式をそれぞれ確立する定理 1 および定理 2 を確立する。
• $K = B$（単位球）の場合、定理 1 は $\mathbb{S}^{n-1}$ 上の鋭い古典的 Poincaré 不等式を回復する：$\int \phi^2 \leq \frac{1}{n-1} \int |\nabla \phi|^2$ が $\int \phi \, d\mathscr{H}^{n-1} = 0$ のとき成り立つ。
• 定理 3 は、Lebesgue 測度を第一面積測度 $A_1(K,\cdot)$ に置き換えることで Poincaré 不等式を一般化し、$\int \phi \, dA_1(K,\cdot) = 0$ のとき、$\int \phi^2 \, d\mathscr{H}^{n-1} \leq \frac{1}{n-1} \int |\nabla \phi|^2 \, d\mathscr{H}^{n-1}$ が成り立つことを証明する。
• $n=2$ の場合、定理 3 は Wirtinger 不等式の新たな拡張を与える：$[0,2\pi]$ 上の非負測度 $\nu$ が 2 点にしか支持されず、$\int \cos\theta \, d\nu = \int \sin\theta \, d\nu = 0$ を満たすとき、$2\pi$-周期関数 $\phi$ に対して $\int \phi^2 \, d\theta \leq \int (\phi')^2 \, d\theta$ が $\int \phi \, d\nu = 0$ のとき成り立つ。
• 定理 5 は、関数 $f$ が $A_1(L,\cdot)$ の密度であるための十分条件を提供する：$f = 1/h_H$ で、$\int x / h_H(x) \, d\mathscr{H}^{n-1}(x) = 0$ かつ $g_{ij} + g\delta_{ij}$ が almost everywhere 正倣性半定値であれば、このような $L$ が存在する。
• 定理 4 の証明は、径数関数 $\rho_K = 1/h_H$ を持つ凸体 $K$ に対して、$\rho_K \, d\mathscr{H}^{n-1}$ がある凸体 $L$ の第一面積測度であることを示しており、これにより定理 3 を $\rho_K$-重み付き不等式に応用可能となる。