[論文レビュー] Functional inequalities for Gaussian convolutions of compactly supported measures: explicit bounds and dimension dependence

Jean-Baptiste Bardet, Nathaël Gozlan+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2015

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 17被引用数 22

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{R}^d$ 上のコンパクトに台を持つ測度とガウス分布の畳み込みに対して、関数不等式（ポンカラ・不等式および対数的ソボレフ不等式）の明示的かつ次元依存の境界を確立する。次元に依存しないポンカラ定数を示し、小分散条件下で次元に関して線形増加を示す対数的ソボレフ定数の既存の境界を改善する。

ABSTRACT

The aim of this paper is to establish various functional inequalities for the convolution of a compactly supported measure and a standard Gaussian distribution on Rd. We especially focus on getting good dependence of the constants on the dimension. We prove that the Poincar{\\'e} inequality holds with a dimension-free bound. For the logarithmic Sobolev inequality, we improve the best known results (Zimmermann, JFA 2013) by getting a bound that grows linearly with the dimension. We also establish transport-entropy inequalities for various transport costs.

研究の動機と目的

• コンパクトに台を持つ測度と$\mathbb{R}^d$ 上のガウス分布の畳み込みにおける関数不等式（ポンカラおよび対数的ソボレフ）の明示的かつ定量的な境界を導出すること。
• 特に低分散領域（$\delta \leq R$）において、既存の対数的ソボレフ定数の次元依存境界を改善すること。
• 高次元確率論および統計力学において極めて重要な次元に依存しないポンカラ不等式の境界を確立すること。
• 定数が台の半径$R$およびガウス分布の分散$\delta^2$にどのように依存するか、特に高次元における依存関係を分析すること。
• トランスポート・エントロピー不等式との関係を、$\tau$-性質および凸性技術を用いて分析し、関数不等式への新たな道筋を提供すること。

提案手法

• 畳み込みの対数密度のヘッセ行列の下界を用いて、バクリ-エムリー基準を適用し、ポンカラおよび対数的ソボレフ定数を導出する。
• 有界およびガウス型確率変数における$\tau$-性質を適用し、テンソル化を用いてトランスポート・エントロピー不等式を導出する。
• インフィミナル畳み込み表現$Q_s f(x) = \inf_y \{ f(y) + \frac{|x-y|^2}{4s} \}$を用いて$\tau$-性質を特徴付け、トランスポートコストと結びつける。
• $S = X + \delta Z$に対して、$C = \delta^2 + 4R^2$とおくと、$\mathbb{E}[e^{Q_C g(S)}]\mathbb{E}[e^{-g(S)}] \leq 1$という主要な不等式を導出し、トランスポート・エントロピー不等式を確立する。
• ゴズランら（2014年）の既知の同値結果を用いて、このトランスポート不等式を対数的ソボレフ不等式に翻訳し、$C_{LS} \leq 8C = 8(\delta^2 + 4R^2)$が得られることを示す。
• 次元に特有の解析を用いる：$\delta > R$のとき、次元に依存しない一様な境界$C_d(\delta,R) \leq \frac{\delta^4}{\delta^2 - R^2}$が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトに台を持つ測度$\mu$が$B_d(0,R)$に含まれるとき、$\mu \star \mathcal{N}(0, \delta^2 I_d)$のポンカラ定数が次元$d$にどのように依存するか？
• RQ2 異なる分散領域において、対数的ソボレフ定数を明示的かつ次元依存または次元に依存しない定数で抑えられるか？
• RQ3 この畳み込みモデルにおいて、トランスポート・エントロピー不等式と関数不等式の関係は何か？また、関与する最適トランスポートコストは何か？
• RQ4 既存の境界（例：Zimmermann, 2014）に比べて、明示的な定数および次元依存性の面でどの程度改善できるか？
• RQ5 $\tau$-性質および凸性技術を用いて、畳み込みを介して非対数的凸でない測度に対し、新たな鋭い対数的ソボレフ不等式を導出できるか？

主な発見

• ポンカラ不等式は次元に依存しない定数で成立：$C_P(\mu \star \gamma_\delta) \leq \delta^2 \exp(4R^2/\delta^2)$。
• $\delta > R$のとき、対数的ソボレフ定数は次元にわたって一様に有界：$C_d(\delta,R) \leq \frac{\delta^4}{\delta^2 - R^2}$。
• 1次元では、対数的ソボレフ定数は$C_1(\delta,R) \leq 4\delta^2 \exp(\frac{8}{\pi} \frac{R^2}{\delta^2})$を満たし、既存の結果を改善する。
• 小分散領域（$\delta \leq R$）では、対数的ソボレフ定数は次元に関して線形に増加：$C_d(\delta,R) \leq (K_1 d + K_2 \frac{R^2}{\delta^2}) R^2 \exp(4R^2/\delta^2)$（$K_1, K_2$は普遍定数）。
• トランスポート・エントロピー不等式$\overline{\mathcal{T}}_2(\nu_1,\nu_2) \leq C(\delta,R) (H(\nu_1|\mu\star\gamma_\delta) + H(\nu_2|\mu\star\gamma_\delta))$は$C(\delta,R) = \delta^2 + 4R^2$で成立し、$\tau$-性質から導出される。
• このトランスポート不等式は、$C_{LS} \leq 8(\delta^2 + 4R^2)$を満たす対数的ソボレフ不等式を示し、凸性およびインフィミナル畳み込みを用いた新たな明示的境界を提供する。