[論文レビュー] Functional integration and abelian link invariants

E. Guadagnini|arXiv (Cornell University)|Jan 26, 2010

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、3次元多様体上のアーベルU(1)ゲージ理論におけるチャーン・サイモンズ経路積分の定義が曖昧であるという問題を、デリーニュ・ベイリューリングコhomologyを用いて正則化することで解決する。期待値がウィルソンループによってwell-definedなリンク不変量をもたらし、それらがリシュチキン・トゥレイブの手術不変量と一致することを示し、$S^1 \times S^2$ やその他のホモロジー球面に対して、非摂動的経路積分による3次元多様体不変量の導出を実現する。

ABSTRACT

The functional integral computation of the various topological invariants, which are associated with the Chern-Simons field theory, is considered. The standard perturbative setting in quantum field theory is rewieved and new developments in the path-integral approach, based on the Deligne-Beilinson cohomology, are described in the case of the abelian U(1) Chern-Simons field theory formulated in S^1 x S^2.

研究の動機と目的

• 3次元多様体上のアーベルU(1)ゲージ理論におけるチャーン・サイモンズ経路積分の定義が曖昧である問題を解消すること。
• 非摂動的で関数的積分に基づく3次元多様体（$S^1 \times S^2$ やホモロジー球面など）の位相的不変量の導出を提供すること。
• 正則化された経路積分を用いて計算されたウィルソンループ期待値が、リシュチキン・トゥレイブの手術不変量などの既知の組み合わせ的不変量と一致することを示すこと。
• 位相的量子場理論における分配関数をwell-definedにするために、正則化と正規化の役割を明確にすること。

提案手法

• アーベルチャーン・サイモンズ理論における関数的積分測度の一貫性ある正則化を定義するために、デリーニュ・ベイリューリングコhomologyを用いる。
• 正規直交基底における場の展開を切断することで、有限次元の正則化スキームを適用し、無限次元積分を有限次元近似の極限に置き換える。
• ウィルソンループ期待値を正則化された経路積分の比として計算し、ゲージ不変性および位相的不変性を保証する。
• 経路積分の結果とリシュチキン・トゥレイブの手術不変量との等価性を、式 $I_k(M) = (2k)^{-N_{\mathcal{L}}/2} e^{i\pi \sigma(\mathcal{L})/4} \langle W(\mathcal{L}) \rangle|_{S^3}$ を用いて確立する。
• キルビー計算と手術表示を用いて、不変量がリンク表示の選択に依存しないことを示し、キルビー移動における不変性に依存する。
• 3次元多様体のホモロジーおよびホモトピー型に伴う分配関数の依存性を分析し、同型なホモロジーを持つ非同相な多様体を不変量が区別できることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アーベルU(1)ゲージ理論における定義が曖昧なチャーン・サイモンズ経路積分は、どのように正則化され、意味のある位相的不変量をもたらすか？
• RQ2 関数的積分によるウィルソンループ期待値の計算とリシュチキン・トゥレイブの手術不変量との間の明確な関係は何か？
• RQ3 なぜ経路積分は整数結合定数において $RP^3$ のような特定の多様体では失敗するのか？ そして、その問題はどのように解決できるか？
• RQ4 不変量は3次元多様体のホモロジーまたはホモトピー型にどの程度依存するか？ また、同型なホモロジーを持つ非同相な多様体を区別できるか？

主な発見

• $S^1 \times S^2$ 上のアーベルチャーン・サイモンズ理論におけるウィルソンループ期待値の経路積分計算は、デリーニュ・ベイリューリングコhomologyによる正則化を経て、well-definedで位相的不変な結果をもたらす。
• 3次元多様体 $M$ におけるフレーム付きで色付けされたリンク $L$ に対する期待値 $\langle W(L)\rangle|_M$ は、リシュチキン・トゥレイブの手術不変量 $I_k(M)$ と一致し、関数的および組み合わせ的アプローチの整合性を確認する。
• レンズ空間 $L(5,1)$ と $L(5,2)$ に対して、不変量 $I_2(M)$ はそれぞれ $-1$ および $1$ を取り、同型な $H_1(M) = \mathbb{Z}_5$ を持つ非同相な多様体を不変量が区別できることを示す。
• $L(9,1)$ と $L(9,2)$ に対して、$I_3(M)$ はそれぞれ $i\sqrt{3}$ および $-i\sqrt{3}$ を取り、ホモロジーを越えたより細かい位相的構造に敏感であることをさらに示す。
• 分配関数 $R_{N_0}(M)$ は、正規化 $N_0$ が適切に選ばれた場合にのみwell-definedである。このような選択は、一貫した経路積分正則化に対応する。
• ホモロジー球面 $M_0$ の不変量の集合は、$S^3$ のそれと一致し、すべてのリンク $L$ に対して $\langle W(L)\rangle|_{M_0} = \langle W(L)\rangle|_{S^3}$ が成り立つことを示唆する。