[論文レビュー] Functional Integration on Spaces of Connections

John C. Baez, Stephen Sawin|ArXiv.org|Jul 20, 1995

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 8被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、主G bundle 上の滑らかな接続の空間に一般化された測度を構築し、Ashtekar-Lewandowski の一様測度を滑らかさの設定に拡張する。スピンネットワークを明示的な正規直交基底として用い、それらが底空間に非自明に作用するようなバンドル自己同型群の下でも不変であることを証明することで、背景独立な量子場理論およびループ量子重力における厳密な関数的積分形式化を可能にする。

ABSTRACT

Let $G$ be a compact connected Lie group and $P o M$ a smooth principal $G$-bundle. Let a `cylinder function' on the space $\A$ of smooth connections on $P$ be a continuous function of the holonomies of $A$ along finitely many piecewise smoothly immersed curves in $M$, and let a generalized measure on $\A$ be a bounded linear functional on cylinder functions. We construct a generalized measure on the space of connections that extends the uniform measure of Ashtekar, Lewandowski and Baez to the smooth case, and prove it is invariant under all automorphisms of $P$, not necessarily the identity on the base space $M$. Using `spin networks' we construct explicit functions spanning the corresponding Hilbert space $L^2(\A/\G)$, where $\G$ is the group of gauge transformations.

研究の動機と目的

• 主G bundle 上の分(piecewise)-smoothから滑らかな接続へ、Ashtekar-Lewandowski の一様測度を拡張すること。
• 主バンドルのすべての自己同型（特に底空間に非自明に作用するものも含む）の下で構築された測度が不変であることを確立すること。
• スピンネットワーク関数を用いて、ヒルベルト空間 $ L^2(\A/\G) $ の明示的な正規直交基底を提供すること。
• 背景独立な量子理論の枠組みにおいて、無限次元接続空間上の関数的積分を厳密に形式化すること。
• 量子重力の文脈においてゲージ不変性と微分同相変換不変性の統一的取り扱いを実現すること。

提案手法

• 有限個の(piecewise)-smooth曲線に沿った holonomy の連続関数として、接続空間 $\A$ 上のシリンダ関数を定義する。
• シリンダ関数の空間上の有界線形汎関数として一般化測度を導入する。
• Ashtekar, Lewandowski, Baez の一様測度を滑らかさのカテゴリーへ拡張する、$\A$ 上の一般化測度を構築する。
• スピンネットワークをヒルベルト空間 $ L^2(\A/\G) $ の基底として用い、構築された測度の下で正規直交基底を成すことを証明する。
• 主バンドル $P \to M$ のすべての自己同型（特に底空間 $M$ を固定しないものも含む）の下で測度が不変であることを証明する。
• 接続空間の無限次元構造を扱うために、量子代数および関数解析の技術を応用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一様測度を分(piecewise)-smoothから滑らかな接続へ数学的に厳密に拡張することは可能か？
• RQ2 底空間に非自明に作用するようなすべてのバンドル自己同型の下で不変な、滑らかな接続上の一般化測度を構築することは可能か？
• RQ3 拡張された測度の下でスピンネットワーク関数は、ヒルベルト空間 $ L^2(\A/\G) $ の完全な正規直交基底をなすか？
• RQ4 背景独立性と整合する形で、無限次元接続空間上の関数的積分をどのように形式化できるか？
• RQ5 ゲージ不変性と微分同相変換不変性は、接続空間上の量子測度の構成において果たす役割は何か？

主な発見

• この論文は、Ashtekar-Lewandowski の一様測度を滑らかな接続へ拡張した一般化測度を構築した。
• 構築された測度は、底空間 $M$ を固定しない自己同型を含む、主バンドルのすべての自己同型の下で不変である。
• スピンネットワーク関数は、ヒルベルト空間 $ L^2(\A/\G) $ の正規直交基底を成し、量子状態空間の明示的実現を提供する。
• 測度はシリンダ関数の空間上で適切に定義され、有界であることが示され、数学的整合性が保証される。
• この構成は、背景独立な量子場理論における関数的積分の厳密な基礎を提供する。
• この結果は、ループ量子重力および関連する量子重力の理論の定式化に不可欠な技術的要素を確立する。