[論文レビュー] Functional Integration with "Automorphic" Boundary Conditions and Correlators of Z-Components of Spins in the XY and XX Heisenberg Chains

C. Malyshev|ArXiv.org|May 4, 2004

Quantum many-body systems参考文献 24被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、有限温度におけるXYおよびXXヘイゼンベルグスピン鎖のz成分スピンの静的相関関数を計算するための関数的積分的手法を開発した。虚時間における「自己同型的」境界条件の新しいクラスを用い、標準的なフェルミオン的・ボソン的境界条件を一般化する。この手法では、積分変数が虚時間並進に対して非自明に変換されることを許容し、ゼータ関数による正則化を経て行列式表現が得られ、既知の解と整合する正確な結果が得られる。

ABSTRACT

Representations for the generating functionals of static correlators of $z$-components of spins in the XY and $XX$ Heisenberg spin chains are obtained in the form of sums of the fermionic functional integrals. The peculiarity of the functional integrals in question is because of the fact that the integration variables depend on the imaginary time ``automorphically''. In other words, the integration variables are multiplied with a certain complex number when the imaginary time is shifted by a period. Therefore, the corresponding boundary conditions at the ends of the imaginary time segment are not of the form corresponding to fermionic, or bosonic, variables taken in the Matsubara representation at nonzero temperature. In fact, one part of sites of the models corresponds to the integration variables which are subjected to the unusual boundary conditions, while the variables on the other sites depend on the imaginary time conventionally, i.e., as fermions (or bosons). Thus a situation, when an ``automorphic'' boundary condition is the same for all sites of a chain spin model, is generalized. The results of the functional integration are obtained in the form of determinants of the matrix operators which are regularized by means of the generalized zeta-function approach. The partition functions of the models and certain correlation functions at nonzero temperature are obtained explicitly thus demonstrating correctness of the functional integral representations proposed.

研究の動機と目的

• 有限温度におけるXYおよびXXヘイゼンベルグスピン鎖のz成分スピンの静的相関関数の関数的積分表現を構築すること。
• フェルミオン的またはボソン的境界条件を一般化するために、虚時間並進において複素位相による乗法的変換を受ける「自己同型的」境界条件を導入すること。
• 分配関数および相関関数の明示的表現を導出することにより、提案された関数的積分形式の整合性と正しさを示すこと。
• 文献[23]の手法をXYモデルに拡張すること。このモデルはボゴリューボフ変換により準自由フェルミオンと同等である。
• ゼータ関数正則化を用いた行列式表現が、ベーテのアンザッツや多重積分表現などの他の手法で得られた既知の結果を再現することを示すこと。

提案手法

• スピンz成分相関関数の生成関数は、虚時間における「自己同型的」境界条件を課したグリーンマン変数上のガウス型関数的積分として表現される。
• 境界条件は非一様である。ラティス上の一部のサイト（最初のm個のサイト）のみが自己同型的性質を示し、残りのサイトは標準的な周期的または反周期的条件に従う。
• 関数的積分は、グリーンマンコherent状態への多重積分から、指数部に二次形式の作用が入る連続的経路積分に変換される。
• 得られる行列式表現は、一般化されたゼータ関数法を用いて正則化され、発散を扱い、収束性を保証する。
• この手法により、Fredホルム行列演算子の行列式による相関関数の計算が可能となり、熱力学的極限における明示的表現が導出される。
• この形式は、XX極限における磁化および二点相関関数といった既知の結果が回復されることで妥当性が確認される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非標準的な「自己同型的」境界条件を有する関数的積分表現が、可解スピン鎖における有限温度相関関数の計算に利用可能か。
• RQ2 空間的に非一様な自己同型的境界条件（ラティスサイトの一部でのみ有効）の導入が、生成関数の構造にどのように影響を与えるか。
• RQ3 ゼータ正則化を経て得られる行列式表現が、XXおよびXYモデルにおける既存の解と整合するか。
• RQ4 この手法を時間並進に非一様な境界条件または非一様な結合定数を持つモデルに拡張可能か。
• RQ5 ベーテのアンザッツや多重積分表現からの結果と一致することによって、関数的積分形式が自己備わっているか。

主な発見

• XYおよびXX鎖におけるz成分スピン相関関数の生成関数は、虚時間における「自己同型的」境界条件を課したフェルミオン的関数的積分の和として表現される。
• 関数的積分形式により、分配関数および相関関数（磁化および二点相関関数を含む）の正確な表現が得られる。
• 熱力学的極限において、スピンz成分期待値は $\sigma^z = 1 - \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \frac{dq}{1 + e^{\beta \varepsilon_q}} $ で与えられ、既知の結果と一致する。
• 二点相関関数は $\langle\sigma_{m+1}^z \sigma_1^z\rangle = (\sigma^z)^2 - \frac{1}{\pi^2} \left| \int_{-\pi}^{\pi} \frac{e^{imq}}{1 + e^{\beta \varepsilon_q}} dq \right|^2 $ として導出され、文献と整合する。
• ゼータ正則化手順により、行列式表現の収束性と正確性が保証され、最終的な結果はベーテのアンザッツや多重積分法による結果と一致する。
• この手法は、空間的に変化する結合定数や境界条件を持つモデルに適用可能な、虚時間における非一様境界条件を許容する点で、従来の手法を一般化する。