[論文レビュー] Functional Itō calculus in Hilbert spaces and application to path-dependent Kolmogorov equations

Mauro Rosestolato|arXiv (Cornell University)|Jun 20, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、ヒルバート空間値の拡散過程に対する関数的イト計算を拡張し、経路に依存するイトの公式を確立し、経路に依存するコルモゴロフ方程式を解く応用を行う。経路に依存するクラーク・オクソン型表現を導出し、経路に依存するドリフト項と定数の拡散係数を持つSDEの解の正則性を証明し、ラドン測度核を持つ遅延SDEのクラスにおいてフレームワークを検証する。

ABSTRACT

Recently, functional Itō calculus has been introduced and developed in finite dimension for functionals of continuous semimartingales. With different techniques, we develop a functional Itō calculus for functionals of Hilbert spacevalued diffusions. In this context, we first prove a path-dependent Itō's formula, then we show applications to classical solutions of path-dependent Kolmogorov equations in Hilbert spaces and derive a Clark-Ocone type formula. Finally, we explicitly verify that all the theory developed can be applied to a class of diffusions driven by SDEs with a path-dependent drift (suitably regular) and constant diffusion coefficient.

研究の動機と目的

• 連続半マルティンゲールの非予測的関数的に対して、無限次元ヒルバート空間における関数的イト計算を構築すること。
• 経路に依存するドリフト項と定数の拡散係数を持つヒルバート空間値拡散過程の関数的に対する経路に依存するイトの公式を確立すること。
• 終期条件を伴う経路に依存するコルモゴロフ方程式の解が、拡散過程の関数的の条件付き期待値に対応することを示すこと。
• 経路に依存するコルモゴロフ方程式の解に対して、クラーク・オクソン型表現公式を導出すること。
• ヒルバート空間の経路空間において、経路に依存するドリフト項と定数の拡散係数を持つSDEの解写像の正則性を検証すること。

提案手法

• 時間的および空間的微分を経路ごとの意味で用いて、ヒルバート空間値拡散過程の非予測的関数的に対する関数的イト計算を形式化する。
• 経路に依存するドリフト項と定数の拡散係数を持つ拡散過程 $ X^{t,\boldsymbol{x}} $ の関数的 $ u(s, X^{t,\boldsymbol{x}}_s) $ に対して、経路に依存するイトの公式を導出する。
• イトの公式を適用して、関数 $ \varphi(t, \mathbf{x}) = \mathbb{E}[f(X^{t,\mathbf{x}})] $ が終期条件 $ f $ を伴う経路に依存する後向きコルモゴロフ方程式を満たすことを示す。
• 解 $ \varphi $ の垂直微分を同定することで、マルティンゲール表現における確率積分被積分関数を特定し、クラーク・オクソン型公式を確立する。
• ドリフトおよび拡散係数の正則性仮定の下で、解写像 $ (t, \mathbf{x}) \mapsto X^{t,\mathbf{x}} $ の $ \mathbb{B}^1(H) $ におけるフレシェ微分性を分析する。
• 合成則および微分の有界性を用いて、解写像 $ \varphi $ がクラス $ \mathcal{G}^2(\mathbb{B}^1_\infty(H), \mathbb{R}) $ に属し、一階および二階微分が一様有界であることを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数的イト計算は、有限次元から無限次元ヒルバート空間へ、拡散過程の経路に依存する関数的に対して拡張可能か？
• RQ2 経路に依存するドリフト項と定数の拡散係数を持つヒルバート空間値拡散過程の関数的に対して、経路に依存するイトの公式が成立するか？
• RQ3 終期条件を伴う経路に依存するコルモゴロフ方程式の解は、拡散過程の関数的の条件付き期待値として表現可能か？
• RQ4 この無限次元設定において、経路に依存するコルモゴロフ方程式の解に対してクラーク・オクソン型表現公式を導出可能か？
• RQ5 ドリフト項がラドン測度との畳み込みを含む場合、特に経路空間における解写像 $ (t, \mathbf{x}) \mapsto X^{t,\mathbf{x}} $ はどのような正則性を示すか？

主な発見

• 経路に依存するドリフト項と定数の拡散係数を持つヒルバート空間値拡散過程の非予測的関数的に対して、経路に依存するイトの公式が確立された。
• 経路に依存するコルモゴロフ方程式の解 $ \varphi(t, \mathbf{x}) = \mathbb{E}[f(X^{t,\mathbf{x}})] $ は、一様有界な一階および二階フレシェ微分を有するクラス $ \mathcal{G}^2(\mathbb{B}^1_\infty(H), \mathbb{R}) $ に属することが示された。
• クラーク・オクソン型公式が導出され、マルティンゲール表現における確率積分被積分関数が $ \varphi $ の垂直微分に一致することが特定された。
• ドリフト項にラドン測度との畳み込み構造を有するという仮定の下で、解写像 $ (t, \mathbf{x}) \mapsto X^{t,\mathbf{x}} $ が $ \mathbb{B}^1(H) $ でフレシェ微分可能であり、$ \omega, t, \mathbf{x} $ に関して一様に有界な微分を持つことが証明された。
• ドリフト項が $ b(t, \mathbf{x}) = \int \tilde{g}(t-s, \mathbf{x}(t-s)) \mu(ds) $ の形を持つSDEに対して、理論が明示的に検証された。ここで $ \tilde{g} $ は一様連続な微分を有する $ C^2_b $ 関数である。
• 関数 $ \mathbf{x} \mapsto f(X^{t,\mathbf{x}}) $ が $ \mathbb{B}^1(H) $ で微分可能であり、合成則および $ X^{t,\mathbf{x}} $ の微分の一様有界性を用いて、フレシェ微分が有界であることが導出された。