[論文レビュー] Functional Limit Theorems for Marked Hawkes Point Measures

Ulrich Horst, Wei Xu|arXiv (Cornell University)|Aug 19, 2019

Point processes and geometric inequalities参考文献 29被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、均一な移住を伴うマーク付きハーウェス点過程の機能的極限定理を確立し、正規化されたショットノイズ過程が弱収束してガウス白色ノイズと相関付きブラウン運動のリフト表現の組み合わせに収束することを証明する。主な貢献は、マーク付きハーウェス過程における機能的中心極限定理であり、強度の自己共分散構造とマーク依存カーネルから明示的な漸近分散が導出される。

ABSTRACT

This paper establishes a functional law of large numbers and a functional central limit theorem for marked Hawkes point measures and their corresponding shot noise processes. We prove that the normalized random measure can be approximated in distribution by the sum of a Gaussian white noise process plus an appropriate lifting map of a correlated one-dimensional Brownian motion. The Brownian results from the self-exiting arrivals of events. We apply our limit theorems for Hawkes point measures to analyze the population dynamics of budding microbes in a host.

研究の動機と目的

• 均一な移住を伴うマーク付きハーウェス点測度のための機能的極限定理を構築し、古典的な大数の法則および中心極限定理を関数的設定へと拡張すること。
• 特に生物学的系における集団動態の文脈で、マーク付きハーウェス過程に関連するショットノイズ過程の漸近的挙動を分析すること。
• 強度過程の共分散構造を特徴づけ、それがマーク分布およびカーネル関数に依存することを明らかにすることで、マーク付きハーウェス過程のための機能的中心極限定理を導出すること。
• 理論的結果を、宿主内での胞子形成微生物の集団動態をモデル化するために応用し、トキシン生産が累積的で、イベントのマークが将来のイベント発生率に影響を与えることを想定する。
• 長記憶カーネルや重尾マーク分布に関する未解決問題を特定し、非マルコフ的およびジャンプ・ドリフト極限に関する今後の研究の方向性を示唆すること。

提案手法

• 強度過程 $ Z(t) $ の共分散関数を分析することで、マーク付きハーウェス点測度のための機能的大数の法則および機能的中心極限定理（FCLT）を導出する。この共分散関数は、過去のイベントによる自己励起を捉える。
• 強度 $ Z(t) $ を外生的強度 $ \mu(t) $ と、マーク付き点過程による駆動を受けるショットノイズ成分の和としてモデル化する。ここで、カーネル $ \phi(t - \tau_k, \xi_k) $ がマーク $ \xi_k $ によって将来のイベント発生率に影響を与える。
• モーメント生成関数 $ g_H(\cdot) $、$ g_I(\cdot) $ およびラプラス変換 $ \gamma $ を用いて、特にマークの生成関数とカーネルの影響を通じて、分布的極限を特徴づける。
• 弱収束を $ \mathbb{D}([0,\infty), \mathbb{R}) $ で確立し、正規化された過程がガウス白色ノイズと相関付き1次元ブラウン運動のリフト写像の和に収束することを示す。
• FCLT を、集団動態の積分に適用する。ここで、累積的トキシンレベルは $ \mathbf{T}(t) = \int_0^t X(s) ds $ としてモデル化され、$ X(t) $ は活性化した微生物の数を表す。
• 移民と分岐効果の両方を組み込んだ、マークおよびカーネル分布のモーメントを用いて、漸近分散 $ |c_{i2}|^2 $ の明示的表現を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 機能的スケーリング下で正規化されたマーク付きハーウェス点測度の分布的挙動はどのように振る舞い、その極限過程は何か？
• RQ2 均一な移住を伴うマーク付きハーウェス過程に関連するショットノイズ過程の漸近分布は何か？
• RQ3 マーク分布およびカーネル関数は、機能的中心極限定理における漸近分散および相関構造にどのように影響を与えるか？
• RQ4 機能的極限定理は、宿主に感染した胞子形成微生物におけるトキシン生産のような累積的生物学的過程をモデル化するために適用可能か？
• RQ5 長記憶カーネルまたは重尾マーク分布を伴うマーク付きハーウェス過程の極限挙動は何か？また、それらは短記憶・軽尾分布のケースとどのように異なるか？

主な発見

• 正規化されたマーク付きハーウェス点測度は、$ \mathbb{D}([0,\infty), \mathbb{R}) $ で弱収束し、ガウス白色ノイズ過程と相関付き1次元ブラウン運動のリフト写像の和に収束する。
• 極限過程は、異なるマークを持つイベントの共通要因としての累積強度過程に起因し、ブラウン運動はプロセスの自己励起性に由来する。
• $ \varphi(t) \equiv 1 $ および $ \mathtt{T}(t,y) = t \wedge y $ の場合、条件 $ \alpha > 3/2 $ の下で、集団動態の積分に対する機能的中心極限定理が成り立つ。これはカーネルの可積分性を保証する。
• 極限過程の漸近分散は $ |c_{i2}|^2 $ で与えられ、マーク分布の2次および3次モーメント、生成関数 $ g'_i(1) $、$ g''_i(1) $、および $ \|\gamma\|_{\Lambda_{i}^{1}} $、$ \|\gamma\|_{\Lambda_{i}^{2}} $ を通じたカーネルの影響を含む。
• $ \varphi(t) \equiv 1 $ の場合、正規化された集団の積分の極限過程は $ \Big{|}\frac{g^\bullet_{I}(1)\|\gamma\|_{\Lambda_{I}^{1}}}{1-g^\bullet_{H}(1)\|\gamma\|_{\Lambda_{H}^{1}}}\Big{|}^{1/2} \cdot c_{H2}B_{H2}(t) + c_{I2}B_{I2}(t) $ で与えられ、明示的な分散表現が得られる。
• 本結果は、多次元および標準的ハーウェス過程に対する以前の機能的CLTを一般化し、マーク依存的影響を伴う個体ベースモデルのための新規な枠組みを提供する。