[論文レビュー] Functional moderate deviations for triangular arrays and applications

Merlevede, Florence, Peligrad, Magda|ArXiv.org|May 5, 2008

Probability and Risk Models参考文献 28被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、独立で中心化された2次可積分な確率変数からなる三角行列について、D[0,1]における関数的中程度偏差原理（MDP）の十分条件を確立し、明示的なレート関数を提示する。正則性条件下では、定常ケースにおいてもこれらの条件は必要となる。これにより、独立な配列によるブロック近似を介して、線形過程、カーネル密度推定器、強 mixing 系列へのMDP応用が可能になる。

ABSTRACT

Motivated by the study of dependent random variables by coupling with independent blocks of variables, we obtain first sufficient conditions for the moderate deviation principle in its functional form for triangular arrays of independent random variables. Under some regularity assumptions our conditions are also necessary in the stationary case. The results are then applied to derive moderate deviation principles for linear processes, kernel estimators of a density and some classes of dependent random variables.

研究の動機と目的

• 独立で中心化され、2次可積分な確率変数からなる三角行列について、D[0,1]空間における関数的中程度偏差原理（MDP）の十分条件を導出すること。
• 正則性条件下で、導出された条件が定常ケースにおいても必要となることを確立すること。
• 独立な確率変数のブロックによる近似を用いて、従属構造へのMDPの適用範囲を拡張すること。
• 線形過程、カーネル密度推定器、強 mixing 系列への関数的MDPの応用を実施すること。
• 原点の近傍でモーメント生成関数が定義されない場合にMDPが成立することを保証する一般化されたLindeberg型条件（式7）を提示すること。

提案手法

• 時間スケーリングを $ s_n^2 = \sum_{j=1}^{k_n} \sigma_{nj}^2 $ を用いて、[0,1]上での正規化された部分和過程 $ W_n(t) $ をドンスカー過程として定義する。
• 打ち切り変数 $ \bar{X}_{nj} = X_{nj} I(|X_{nj}| < s_n / \sqrt{a_n}) $ に対する指数モーメントのバウンドを確立し、$ a_n \log \mathbb{E}[\exp(t \sqrt{a_n} W_n)] \to \frac{t^2}{2} \int_0^1 (z'(u))^2 du $ の収束を保証することで、関数的MDPを確立する。
• 一般化されたLindeberg条件（式7）：$ \limsup_{n\to\infty} a_n \sum_{j=1}^{k_n} \mathbb{E}\left[ \exp\left(\beta \frac{|X_{nj}|}{\sqrt{a_n} s_n}\right) I(|X_{nj}| > \epsilon \sqrt{a_n} s_n) \right] = 0 $ を用いる。この式はすべての $ \epsilon, \beta > 0 $ に対して成り立つ。
• 部分積分とモーメント生成関数の推定を用いて、(3)式の尾部条件と(41)式の指数的尾部バウンドの同値性を証明する。
• 有界な確率変数に対するプロホロフの不等式と集中不等式を用いて、個々の項の大きな偏差を制御する。
• カップリング技術を用いて、独立なブロックがMDP条件を満たすように近似することで、従属過程への結果の拡張を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 D[0,1]における独立な確率変数からなる三角行列について、関数的中程度偏差原理（MDP）を保証する条件は何か？
• RQ2 定常ケースにおいて、MDPの条件が十分かつ必要となるのはどのような場合か？
• RQ3 独立な配列のMDPを用いて、線形過程や強 mixing 系列のような従属構造のMDPをどのように導出できるか？
• RQ4 原点の近傍でモーメント生成関数が定義されない場合に、MDPが成立するための一般化されたLindeberg型条件は何か？
• RQ5 完全なモーメント条件がなくても、指数的尾部バウンドとモーメント推定を用いてMDPを確立できるか？

主な発見

• 条件(3)、(4)、(5)を満たす限り、$ D[0,1] $ において速度 $ a_n \to 0 $、レート関数 $ I(z) = \frac{1}{2} \int_0^1 (z'(u))^2 du $ で関数的MDPが成立する。ここで $ z $ は絶対連続で $ z(0) = 0 $ を満たす。
• 条件(7) — 一般化されたLindeberg条件 — は関数的MDPに対して十分であり、他の条件(3)、(4)、(5)を含意する。
• 定常ケースでは、条件(3)、(4)、(5)が関数的MDPが成立するための必要条件でもある。
• 正規化された和 $ s_n^{-1} S_n $ のMDPは、レート関数 $ I(t) = t^2 / 2 $ で成立し、関数的形と整合的である。
• 尾部条件(3)は、指数的尾部バウンド：$ a_n \sum_j \mathbb{P}(|\bar{X}_{nj}| > u \sqrt{a_n} s_n) \leq C_1 e^{-\beta u} $（すべての $ u \geq 1 $ に対して）と同値であり、個々の項の大きな偏差を制御する。
• 本手法により、独立なブロックがMDP条件を満たすように近似することで、線形過程、カーネル密度推定器、強 mixing 系列のMDPの導出が可能になる。