[論文レビュー] Functional principal component analysis for global sensitivity analysis of model with spatial output

Tran Vi-Vi Élodie Perrin, Olivier Roustant+7 more|arXiv (Cornell University)|May 20, 2020

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 29被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、海岸洪水モデルなど、高次元の空間的出力を有する計算コストの高いシミュレータに対して、関数的主成分分析（FPCA）に基づく手法を提案する。関数的基底分解（ウェーブレットまたはBスプライン）と、エネルギー基準または罰則付き回帰による基底係数の選択、およびグラム行列に基づく度合いを用いたFPCAを組み合わせることで、空間的構造を保持したまま出力次元を低減し、非定常的で局所的に変化する出力に対しても、正確なメタモデル化と解析的分散ベースの感度インデックスを可能にする。

ABSTRACT

Motivated by risk assessment of coastal flooding, we consider time-consuming simulators with a spatial output. The aim is to perform sensitivity analysis (SA), quantifying the influence of input parameters on the output. There are three main issues. First, due to computational time, standard SA techniques cannot be directly applied on the simulator. Second, the output is infinite dimensional, or at least high dimensional if the output is discretized. Third, the spatial output is non-stationary and exhibits strong local variations. We show that all these issues can be addressed all together by using functional PCA (FPCA). We first specify a functional basis, such as wavelets or B-splines, designed to handle local variations. Secondly, we select the most influential basis terms, either with an energy criterion after basis orthonormalization, or directly on the original basis with a penalized regression approach. Then FPCA further reduces dimension by doing PCA on the most influential basis coefficients, with an ad-hoc metric. Finally, fast-to-evaluate metamodels are built on the few selected principal components. They provide a proxy on which SA can be done. As a by-product, we obtain analytical formulas for variance-based sensitivity indices, generalizing known formula assuming orthonormality of basis functions.

研究の動機と目的

• 時間的に高コストな空間的出力を有するシミュレータに対して、強い局所的変動を示す出力においてもグローバル感度分析（GSA）を実施する課題に対処すること。
• 非定常的で高次元の空間的出力に不連続性を含む場合に、標準的なPCAや関数的基底法の限界を克服すること。
• 空間的依存性を保持し、正確で高速に評価可能なメタモデルを可能にする次元削減フレームワークを開発すること。
• 任意の（正規直交でない）基底関数に対して有効な解析的分散ベースの感度インデックスの公式を導出すること。
• 海岸洪水モデリングにおける急激な空間的特徴を捉える点で、古典的PCAよりも優れた性能を示すことを実証すること。

提案手法

• 空間的出力を係数の集合として表現するため、ウェーブレットまたはBスプラインを用いた関数的基底分解を実行する。
• 基底項の予備的選択として、正規直交化後のエネルギー基準または元の基底上で罰則付き回帰（例：Lasso）を用いる。
• 基底関数のグラム行列に基づく度合いを用いて、選択された係数に対して関数的主成分分析（FPCA）を実行し、正規直交性の欠如を考慮する。
• 主成分のうち最も影響力の強い少数に対してガウス過程メタモデルを構築し、高速な評価と感度分析を可能にする。
• FPCAフレームワークを用いて、基底関数の正規直交性を仮定しない一般化された分散ベースの感度インデックスを導出する。
• 得られたメタモデルを用いて、主効果および総合効果の感度インデックスを効率的に計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数的主成分分析に基底選択を組み合わせることで、高次元出力における強い局所的変動を示す空間的特徴を、標準的PCAよりも効果的に捉えることができるか？
• RQ2 出力が高次元的かつ計算コストが高いため、空間的シミュレータに対して効率的な感度分析をどのように実施できるか？
• RQ3 非正規直交基底（例：Bスプライン）を用いることで、関数的主成分分析フレームワークにおける感度インデックスの正確さと解釈可能性にどのような影響を与えるか？
• RQ4 2段階の次元削減（基底選択 → FPCA）は、メタモデルの正確性を向上させるとともに、計算コストを削減できるか？
• RQ5 基底関数が正規直交でない場合、提案された感度インデックスは古典的インデックスと比較してどのように異なるか？

主な発見

• FPCAに基底選択を組み合わせることで、洪水境界など急激な空間的不連続性を示す領域において、標準的PCAよりも顕著にメタモデルの正確性が向上した。
• 著者らの実験では、正規直交化後のエネルギー基準が罰則付き回帰よりも、正確性と計算コストの両面で優れていた。
• 256×256の空間的出力（65,536ピクセル）の次元削減が、重要な空間的特徴を保持したまま、管理可能な数の主成分に成功した。
• 任意の基底に対して有効な解析的分散ベースの感度インデックスの公式が導出され、正規直交性の仮定が不要になった。
• 実際の海岸洪水ケーススタディでは、感度インデックスが高潮ピークや持続時間といった、溢水プロセスに関連する入力要因を正しく同定した。
• 標準的PCAが計算的に扱いにくくなる高解像度グリッドに対しても、本手法は依然として実用可能である。