[論文レビュー] Functional Principal Components Analysis of Spatially Correlated Data

Chong Liu, Surajit Ray+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2014

Geochemistry and Geologic Mapping被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、空間相関を関数データに組み込むために、関数的主成分（fPC）スコアを空間相関誤差構造を通じて推定する、条件付き期待値を用いた空間的主成分分析（SPACE）フレームワークを提案する。この手法は、スパースで不規則に観測されたデータにおける曲線再構築を改善し、非等方的マトérn相関を用いて空間的依存性を明示的にモデル化することで、独立曲線法を上回る性能を発揮するが、弱い相関のもとでも漸近的効率性を維持する。

ABSTRACT

This paper focuses on the analysis of spatially correlated functional data. The between-curve correlation is modeled by correlating functional principal component scores of the functional data. We propose a Spatial Principal Analysis by Conditional Expectation framework to explicitly estimate spatial correlations and reconstruct individual curves. This approach works even when the observed data per curve are sparse. Assuming spatial stationarity, empirical spatial correlations are calculated as the ratio of eigenvalues of the smoothed covariance surface $Cov(X_i(s),X_i(t))$ and cross-covariance surface $Cov(X_i(s), X_j(t))$ at locations indexed by $i$ and $j$. Then a anisotropy Matérn spatial correlation model is fit to empirical correlations. Finally, principal component scores are estimated to reconstruct the sparsely observed curves. This framework can naturally accommodate arbitrary covariance structures, but there is an enormous reduction in computation if one can assume the separability of temporal and spatial components. We propose hypothesis tests to examine the separability as well as the isotropy effect of spatial correlation. Simulation studies and applications of empirical data show improvements in the curve reconstruction using our framework over the method where curves are assumed to be independent. In addition, we show that the asymptotic properties of estimates in uncorrelated case still hold in our case if 'mild' spatial correlation is assumed.

研究の動機と目的

• 既存の関数的主成分分析（fPCA）手法が独立曲線を仮定しているという限界に対処すること。これは空間相関のあるデータではしばしば現実的ではない。
• 特に1曲線あたりの観測がスパースで不規則な場合に、関数的曲線間の空間的依存性を明示的にモデル化するフレームワークを開発すること。
• 関数的データ解析における空間相関を組み込んだ、PACE（条件付き期待値による主成分分析）手法の拡張。
• 関数的データにおける空間相関構造の分離可能性および等方性に関する仮説検定を提供すること。
• 弱い空間相関仮定のもとでも、fPCAの漸近的効率性および収束性を維持すること。

提案手法

• 関数データの平滑化された共分散および共通共分散表面からの固有値比として、実証的空間相関を推定する。
• 実証的空間相関に非等方的マトérn空間相関モデルをフィットさせ、空間相関構造における方向依存性および伸びを捉える。
• 局所線形スムージングを用いて、異なる空間位置に位置する曲線間の共通共分散表面を推定し、スパースに観測された曲線の再構築を可能にする。
• 条件付き期待値を適用して関数的主成分（fPC）スコアを推定し、曲線が相関を持つ場合のPACEの拡張を実現する。
• 空間相関のもとでのfPCおよび固有関数の推定に、ストイケル多様体上での制限付き最尤推定を用いる。
• ガウス分布およびカイ二乗分布近似を用いて、再構築された曲線およびfPCスコアの漸近的信頼区間および同時信頼帯を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 空間的相関のある関数的データを扱えるようにfPCAを拡張することは可能か？ また、推定効率性は維持されるか？
• RQ2 スパースかつ不規則な観測がある中で、曲線間の空間的相関をどのように明示的にモデル化できるか？
• RQ3 空間的相関が、関数的データ解析におけるfPC推定量の漸近的性質に与える影響は何か？
• RQ4 空間相関構造が分離可能（すなわち、時間的および空間的成分の積として表現可能）である条件は何か？
• RQ5 関数的データフレームワーク内で、分離可能性および等方性に関する仮説検定を構築できるか？

主な発見

• SPACEフレームワークは、独立曲線fPCAと比較して、特にスパースデータ設定において顕著に再構築精度が向上する。
• 弱い空間相関のもとでも、fPC推定量の漸近的性質（収束速度など）は、古典的fPCAの結果と同様に有効である。
• 1曲線あたりの観測数が有界で、弱い空間依存性がある場合に、fPC推定における最適な非パラメトリック収束速度を維持する。
• 分離可能性および等方性に関する仮説検定は、シミュレーションを通じて成功裏に開発および検証された。
• 非等方的マトérn相関モデルは、地理的および生物学的データに一般的に見られる方向依存性および伸びた空間相関パターンを効果的に捉える。
• カイ二乗分布の分位数を用いて、再構築された曲線の漸近的同時信頼帯を構築した。これは点ごとの信頼帯よりも広く、同時不確実性を反映している。