[論文レビュー] Functional renormalisation group for turbulence

Léonie Canet|arXiv (Cornell University)|May 3, 2022

Fluid Dynamics and Turbulent Flows被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、非摂動的関数的自己エネルギー群（FRG）フレームワークを、均一かつ等方的乱流に適用し、ナビエ＝ストークス方程式から統計的性質を体系的に導出可能にする。場の理論的対称性と非摂動的近似を活用することで、FRGは高波数領域における多点・多時間相関関数について正確な解析的表現を導き、エネルギースペクトル、構造関数、空間時間相関を精度良く予測し、直接数値シミュレーションや実験と強い一致を示す。

ABSTRACT

Turbulence is a complex nonlinear and multi-scale phenomenon. Although the fundamental underlying Navier-Stokes equations have been known for two centuries, it remains extremely challenging to extract from them the statistical properties of turbulence. Therefore, for practical purpose, a sustained effort has been devoted to obtaining some effective description of turbulence, that we may call turbulence modelling, or statistical theory of turbulence. In this respect, the Renormalisation Group (RG) appears as a tool of choice, since it is precisely designed to provide effective theories from fundamental equations by performing in a systematic way the average over fluctuations. However, for Navier-Stokes turbulence, a suitable framework for the RG, allowing in particular for non-perturbative approximations, have been missing, which has thwarted for long RG applications. This framework is provided by the modern formulation of the RG called functional renormalisation group. The use of the FRG has rooted important progress in the theoretical understanding of homogeneous and isotropic turbulence. The major one is the rigorous derivation, from the Navier-Stokes equations, of an analytical expression for any Eulerian multi-point multi-time correlation function, which is exact in the limit of large wavenumbers. We propose in this {\it JFM Perspectives} a survey of the FRG method for turbulence. We provide a basic introduction to the FRG and emphasise how the field-theoretical framework allows one to systematically and profoundly exploit the symmetries. We then show that the FRG enables one to describe turbulence forced at large scale, which was not accessible by perturbative means. We expound the derivation of the spatio-temporal behaviour of $n$-point correlation functions, and largely illustrate these results through the analysis of data from experiments and direct numerical simulations.

研究の動機と目的

• ナビエ＝ストークス方程式から有効な統計的性質を体系的に導出できる非摂動的場の理論的フレームワークを構築すること。
• 小パラメータの欠如により、摂動的自己エネルギー群手法が乱流に対して失敗するという限界を克服すること。
• 従来の摂動的RG手法では到達できなかった、物理的大規模スケール駆動を伴う完全に発達した乱流の記述を可能にすること。
• 高波数（直接キャスケード）領域における多点・多時間相関関数について、正確な解析的表現を導出すること。
• FRGの予測を直接数値シミュレーションおよび実験データと照合し、特にエネルギースペクトルおよび構造関数について検証すること。

提案手法

• 応答移動場と生成関数を用いた経路積分的・場の理論的形式でナビエ＝ストークス方程式を定式化する。
• ガリレオ不変性、並進不変性、および拡張された対称性（例えば、時空変換に関して二次の対称性）といった基本的対称性を特定・利用し、Ward恒等式によって頂点関数を制約する。
• スケール依存の有効平均作用と、非摂動的フラクチュエーション統合のための正確なフロー方程式を備えた関数的自己エネルギー群（FRG）形式を適用する。
• 対称性と次元解析に基づいた非摂動的アンサンブルを有効平均作用に導入し、体系的な近似スキームを可能にする。
• 高波数領域におけるFRGフロー方程式を解き、この領域で対称性が相関関数展開の主要項および準主要項を完全に制約することを示す。
• 高k領域におけるフロー方程式の解析と対称性制約を用いて、n点相関関数の時間依存性を導出する。非物理的項を排除する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数的自己エネルギー群（FRG）は、ナビエ＝ストークス方程式から乱流の統計的性質を非摂動的かつ対称性に基づいて導出できる枠組みを提供できるか？
• RQ2 均一かつ等方的乱流の高波数（直接キャスケード）領域における多点・多時間相関関数の解析的構造は何か？
• RQ3 標準的なガリレオ不変性および並進不変性を超える拡張された対称性は、相関関数の形をどのように制約し、準主要項の寄与を抑制するか？
• RQ4 FRGによるエネルギースペクトル、2次および3次構造関数、および近似散乱領域の振る舞いの予測は、直接数値シミュレーションおよび実験データとどの程度一致するか？
• RQ5 2次元および3次元乱流におけるn点相関関数の空間時間的挙動は何か？ また、FRGフローにおける対称性保護項がどのように支配しているか？

主な発見

• FRGは、ナビエ＝ストークス方程式から直接導出可能な、高波数領域における任意のEuler的多点・多時間相関関数について正確な解析的表現を提供する。
• エネルギースペクトルは高い精度で予測され、Kolmogorov定数の正確な推定値が得られ、数値的および実験的データと整合的である。
• 2次および3次構造関数は、制御された非摂動的近似により計算され、シミュレーションおよび実験と優れた一致を示す。
• エネルギースペクトルの近似散乱領域はFRGによって正確に記述され、慣性領域から散乱領域への遷移における正しいスケーリング振る舞いを捉えている。
• n点相関関数の時間依存性は、高波数領域において解析的に導出され、主要項は等時刻で消えるが、スケール不変性から生じるべきべき乗則的振る舞いが現れる。
• 2次元乱流では、拡張された対称性（時空変換に関して二次的）が、等時刻相関関数の準主要項を制約し、それらが小さく、組み合わせ的要因および対称性恒等式によって抑制される可能性があると示唆される。