[論文レビュー] Functional Renormalization Group at Large N for Disordered Elastic Systems, and Relation to Replica Symmetry Breaking

Pierre Le Doussal, Kay Jörg Wiese|arXiv (Cornell University)|May 28, 2003

Theoretical and Computational Physics被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、クエンチド・ディスオーダーを持つ不規則な弾性系に対して、大Nにおける関数的自己縮重群（FRG）手法を開発し、有限スケールで不規則性相関関数にくびれのような非解析的特徴が生じることを示した。これは、レプリカ対称解の不安定性を示すものである。FRGは、パリシ型レプリカ対称性の破れを仮定せずに、ガウス型変分法（GVM）による非自明な小スケール重なりの結果を正確に再現することを証明し、すべての重なりにおける完全なレプリカ対称性破れ（RSB）解の完全な式を導出した。

ABSTRACT

We study the replica field theory which describes the pinning of elastic manifolds of arbitrary internal dimension d in a random potential, with the aim of bridging the gap between mean field and renormalization theory. The full effective action is computed exactly in the limit of large embedding space dimension N. The second cumulant of the renormalized disorder obeys a closed self-consistent equation. It is used to derive a Functional Renormalization Group (FRG) equation valid in any dimension d, which correctly matches the Balents-Fisher result to first order in epsilon=4-d. We analyze in detail the solutions of the large-N FRG for both long-range and short-range disorder, at zero and finite temperature. We find consistent agreement with the results of Mezard Parisi (MP) from the Gaussian variational method (GVM) in the case where full replica symmetry breaking (RSB) holds there. We prove that the cusplike non-analyticity in the large N FRG appears at a finite scale, corresponding to the instability of the replica symmetric solution of MP. We show that the FRG exactly reproduces, for any disorder correlator and with no need to invoke Parisi's spontaneous RSB, the non-trivial result of the GVM for small overlap. A formula is found yielding the complete RSB solution for all overlaps. Since our saddle-point equations for the effective action contain both the MP equations and the FRG, it can be used to describe the crossover from FRG to RSB. A qualitative analysis of this crossover is given, as well as a comparison with previous attempts to relate FRG to GVM. Finally, we discuss applications to other problems and new perspectives.

研究の動機と目的

• クエンチド・ディスオーダーを有する不規則な弾性系において、平均場理論と自己縮重群理論の間のギャップを埋めること。
• FRGが次元還元を回避するメカニズムを、不規則性相関関数における非解析的挙動の出現を通じて解明すること。
• 関数的自己縮重群とガウス型変分法（GVM）によって得られるレプリカ対称性破れ（RSB）解との直接的な関連を確立すること。
• 任意の次元dで有効な閉形式のFRG方程式を導出すること。この方程式は、ε展開における既知の結果と一致する。
• FRGにおいて、くびれのような非解析的特徴が有限スケールで出現すること、これはレプリカ対称解の不安定性に対応し、そのスケールが完全なRSB解の開始を示すこと、およびその完全なRSB解を鞍点方程式から導出すること。

提案手法

• 大N極限における有効作用の完全な導出を行い、正規化された不規則性の2次モーメントを正確に計算する。
• 任意の次元dで有効な不規則性相関関数R(u)の閉形式FRG方程式を導出し、ε展開のO(ε)においてBalents-Fisherの結果と一致する。
• メツァール・パリシ（MP）レプリカ対称解の式とFRGダイナミクスを統合する自己無撞着な有効作用方程式を導入する。
• 関数y = W′(x)を介した不規則性相関関数とスカラー場理論との写像を導入し、場の理論的手法を適用可能にする。
• 絶対零度および有限温度の極限でFRG方程式を解き、非解析的挙動の出現が有限スケールで発生することを特定する。
• パリシのRSBアンザッツを仮定せず、鞍点方程式を解くことにより、すべての重なりにおける完全なRSB解を表す一般式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 大Nにおける関数的自己縮重群（FRG）は、パリシ型レプリカ対称性破れを仮定せず、小スケール重なりにおけるガウス型変分法（GVM）の非自明な結果をどのように再現するのか？
• RQ2 FRGフレームワークにおいて、不規則性相関関数R''(u)の2次微分に現れるくびれのような非解析的特徴の物理的起源は何か？
• RQ3 FRGにおいて、レプリカ対称解が不安定化するスケールは何か？このスケールは、完全なレプリカ対称性破れの開始とどのように関係するか？
• RQ4 パリシの階層的RSBアンザッツを用いずに、FRGの鞍点方程式からすべての重なりにおける完全なRSB解を直接導出できるか？
• RQ5 大N極限において、FRGから完全なRSB挙動へのクロスオーバーはどのように発生するのか？温度および不規則性相関構造の役割は何か？

主な発見

• 大N-FRGは、有限スケールでR''(u)にくびれのような非解析的特徴を生成し、これはレプリカ対称解の不安定性に対応し、GVMにおける完全なRSBの開始と一致する。
• FRGは、パリシ型RSBを仮定せず、任意の不規則性相関関数に対して、GVMの非自明な小スケール重なり結果を正確に再現する。
• 任意の不規則性相関関数および任意の次元dに対して有効な、すべての重なりにおける完全なRSB解を表す一般式が導出された。
• 有効作用の鞍点方程式には、メツァール・パリシ（MP）方程式とFRGダイナミクスが両方含まれており、FRGからRSB挙動へのクロスオーバーを統一的に記述可能である。
• 絶対零度におけるFRG解は、ε展開のO(ε)においてBalents-Fisherの結果（ε = 4−d）を正確に再現し、摂動的自己縮重群法と整合性があることを確認した。
• FRGにおける非解析的特徴は、一般にRSBやガラス相関を示すものではなく、単一の基底状態の支配と局在化に起因する一般化されたメカニズムである可能性を示唆している。