[論文レビュー] Functional renormalization group for non-Hermitian and $\mathcal{PT}$-symmetric systems

Lukas Grunwald, V. Meden+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2022

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 39被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、非ヒルベルト型およびPT対称な量子系へ、頂点展開（VE）を用いた関数的ランダム化群（FRG）を一般化し、破れたヒルベルト性に起因する異常な期待値の問題を取り扱う。正確に解けるPT対称な三次異常調和振動子モデルを用いて、FRG-VEがヒルベルト型の場合と同等の忠実度を達成することを示し、非ヒルベルト系における相関効果の研究にFRG-VEを用いる有効性を裏付けた。

ABSTRACT

We generalize the vertex expansion approach of the functional renormalization group to non-Hermitian systems. As certain anomalous expectation values might not vanish, additional terms as compared to the Hermitian case can appear in the flow equations. We investigate the merits and shortcomings of the vertex expansion for non-Hermitian systems by considering an exactly solvable $\mathcal{PT}$-symmetric non-linear toy-model and reveal, that in this model, the fidelity of the vertex expansion in a perturbatively motivated truncation schema is comparable with that of the Hermitian case. The vertex expansion appears to be a viable method for studying correlation effects in non-Hermitian systems.

研究の動機と目的

• 関数的ランダム化群（FRG）と頂点展開（VE）を非ヒルベルト型およびPT対称な量子系へ拡張すること。
• 非ヒルベルト系に生じる非ゼロの真空期待値（VEVs）が流れ方程式に与える影響を扱う課題に取り組むこと。
• 正確に解けるPT対称系を用いて、非ヒルベルト的文脈におけるFRG-VEアプローチの忠実度を検証すること。
• FRG-VEを非ヒルベルト系の多体系における相関効果を研究するための実用的ツールとして確立すること。

提案手法

• 非ヒルベルト系に一般化されたFRGフレームワークにおいて、非ゼロの真空期待値（VEVs）を流れ方程式に組み込むこと。
• FRGの頂点展開（VE）手法を、双直交固有状態と非ヒルベルト構造に起因する異常項を含めるように適応すること。
• 流れパラメータλにおけるカットオフ関数を用い、解ける極限（λ = λ∞）と元の理論（λ = λ0）との間を補間し、Wetterich方程式を用いて流れ方程式を導出すること。
• 数値的にFRG-VEを実装する際、周波数グリッドを対数スケールに、積分には適応的ガウス＝クロンロッド求積法を用い、頂点関数にはスプライン補間を適用すること。
• 観測量のテイラー係数を抽出し、正確対角化（ED）結果と比較することで、一貫性のチェックを実施すること。
• 実数固有値と非ゼロの〈x〉を持つ、H = p²/2 + x²/2 + ikx³/3! として表されるPT対称な三次異常調和振動子をテストモデルとして用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数的ランダム化群（FRG-VE）の頂点展開は、非ヒルベルト型およびPT対称系へ一貫して一般化可能か？
• RQ2 非ヒルベルト型FRGにおける非ゼロの真空期待値（VEVs）は、流れ方程式にどのように影響を与えるか？
• RQ3 非ヒルベルト系におけるFRG-VEの忠実度は、ヒルベルト型の場合と比べてどの程度か？
• RQ4 FRG-VEは、正確に解けるPT対称な三次異常調和振動子モデルのスペクトルと自己エネルギーを正確に再現できるか？
• RQ5 FRG-VEは、非ヒルベルト系の多体系における相関効果を信頼性高く研究するのに適しているか？

主な発見

• FRG-VEアプローチは、ヒルベルト型では存在しない非ゼロの真空期待値（VEVs）と異常項を流れ方程式に適切に組み込むことに成功した。
• PT対称な三次異常調和振動子モデルにおいて、mc=3での切断を用いたFRG-VEは、ヒルベルト型と同等の忠実度で正確なスペクトルを再現した。
• 一貫性のチェックにより、FRG-VEの数値的実装が、O(k^mc)までの観測量のテイラー係数を正しく再現していることが確認され、手法の妥当性が裏付けられた。
• mc=3でのFRG-VEによる自己エネルギーは、大きな結合定数kに対して小さな周波数で谷を形成しており、これはmc=2の切断では観察されず、正確なED結果に近い。
• グリッド間隔や積分手法の数値的選択に対しても、本手法は頑健であり、異なる実装間で0.1%未満のずれしか生じない。
• FRG-VEは、非ヒルベルト系における相関効果を研究するための実用的で信頼性のあるツールであることが示され、輸送系や駆動系への応用が期待される。