[論文レビュー] Functional units for natural numbers

J.A. Bergstra, C.A. Middelburg|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2009

semigroups and automata theory参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、スレッド代数における抽象的なサービスの概念を越えて、計算をモデル化するための具象的で状態を持つ抽象化としての機能的ユニットの概念を導入する。自然数に対する普遍的で計算可能な機能的ユニットの存在を確立し、ℕ上のすべての計算可能関数がそのようなユニット内でエミュレート可能であることを示しており、命令列を用いたチューリングマシンやプログラムの意味論のモデル化に意味を持つ。

ABSTRACT

Interaction with services provided by an execution environment forms part of the behaviours exhibited by instruction sequences under execution. Mechanisms related to the kind of interaction in question have been proposed in the setting of thread algebra. Like thread, service is an abstract behavioural concept. The concept of a functional unit is similar to the concept of a service, but more concrete. A state space is inherent in the concept of a functional unit, whereas it is not inherent in the concept of a service. In this paper, we establish the existence of a universal computable functional unit for natural numbers and related results.

研究の動機と目的

• スレッド代数における抽象的サービスモデルの限界を克服するため、より具象的で状態を持つ計算モデルを導入すること。
• 状態空間を内蔵する機能的ユニットの概念を定義・形式化し、最も単純な重要なケースとして自然数に焦点を当てる。
• 自然数に対する普遍的で計算可能な機能的ユニットの存在を確立し、ℕ上の任意の計算可能関数をエミュレート可能な能力を持つこと。
• チューリングマシンや他の計算システムを機能的ユニットと命令列を用いてモデル化する基盤を築くこと。

提案手法

• 論文は、プログラム代数に基づくプログラム表記PGLBbtを用い、論理的終了と条件付きジャンプを伴う命令列を表現する。
• 基本的スレッド代数に拡張し、命令列とサービス間の相互作用をモデル化するための演算子を導入し、機能的ユニットの動作の基盤を形成する。
• 機能的ユニットは、状態空間（ここではℕ）、メソッド操作の集合、および状態を変更し論理値を返す命令の処理メカニズムからなるシステムとして定義される。
• カウンターマシンを符号化することで普遍的機能的ユニットを構築し、ℕ上の任意の計算可能関数がその中でシミュレート可能であることを証明する。
• 背理法を用いて、単一のメソッド操作でのみ構成される機能的ユニットではカウンターマシンをシミュレートできないことを示し、必要なメソッド操作の最小数の下界を確立する。
• 有限状態空間へ一般化され、機能的ユニットの次数と構造的複雑性の分析がなされる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自然数に対して普遍的で計算可能な機能的ユニットを構築することは可能か？
• RQ2 カウンターマシンをℕ上でシミュレートするための機能的ユニットに必要な最小のメソッド操作数はいくつか？
• RQ3 機能的ユニットの概念は、スレッド代数における抽象的サービスモデルに比べてどのように改善されるか？
• RQ4 機能的ユニットを用いてチューリングマシンのテープと制御をモデル化することは可能か？
• RQ5 有限状態空間における機能的ユニットの構造的複雑性はいかなるものか？

主な発見

• 自然数に対する普遍的で計算可能な機能的ユニットが存在する。これは、ℕ上のすべての計算可能関数がそのようなユニット内でエミュレート可能であることを意味する。
• 自然数上でカウンターマシンをシミュレートできる計算可能な機能的ユニットに、1つのメソッド操作しか持たないものは存在しない。これは到達可能な状態に矛盾を引き起こすためである。
• カウンターマシンをℕ上でシミュレートするために必要な最小のメソッド操作数は2つ以上であるが、2つで十分かどうかは未解決の問題のままである。
• 有限状態空間における機能的ユニットは同型を除いて列挙可能であり、ブール状態空間では12種類の異なる機能的ユニット次数が存在する。
• k状態空間上での可能な機能的ユニットの数は2^(2^k * k^k)のオーダーに成長するため、小さなkですら手作業での列挙は非現実的である。
• 機能的ユニットにより、計算可能性を機械モデルではなくプログラムの意味論を通じて研究できるようになり、計算をプログラム中心の視点から捉えることが可能になる。