[論文レビュー] Functional versions of L_p-affine surface area and entropy inequalities

Umut Caglar, Matthieu Fradelizi+4 more|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2014

Point processes and geometric inequalities参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、対数凸関数および $s$-凸関数に対する $L_p$-アフィン表面積の関数的拡張を導入し、双対性関係とアフィン等周不等式を確立する。$s$-凸密度関数に対して新たな逆対数ソボレフ不等式を導出し、古典的結果を一般化するとともに、$s \to 0$ の極限で対数ソボレフ不等式が回復されることを示す。この手法は、関数的ブレーシュケ・サントラレ不等式およびラプラス双対性の形をとり、関数的設定におけるエントロピーとアフィン等周不等式を統一的に扱う枠組みを提供する。

ABSTRACT

In contemporary convex geometry, the rapidly developing L_p-Brunn Minkowski theory is a modern analogue of the classical Brunn Minkowski theory. A cornerstone of this theory is the L_p-affine surface area for convex bodies. Here, we introduce a functional form of this concept, for log concave and s-concave functions. We show that the new functional form is a generalization of the original L_p-affine surface area. We prove duality relations and affine isoperimetric inequalities for log concave and s-concave functions. This leads to a new inverse log-Sobolev inequality for s-concave densities.

研究の動機と目的

• 凸体から対数凸関数および $s$-凸関数へ $L_p$-アフィン表面積の概念を拡張すること。
• 対数凸関数および $s$-凸関数の設定において、関数的双対性関係およびアフィン等周不等式を確立すること。
• $s$-凸密度関数に対する新たな逆対数ソボレフ不等式を導出し、既知の結果を一般化すること。
• 関数的ブレーシュケ・サントラレ双対性を用いて、対数凸測度の逆対数ソボレフ不等式の簡略化された証明を提供すること。

提案手法

• 対数凸または $s$-凸密度関数 $f = e^{-\psi}$ と関連する凸関数 $\psi$ のヘッセ行列の行列式を用いて、関数的 $L_p$-アフィン表面積を定義する。
• ラプラス変換 $\psi^*$ と関数的ブレーシュケ・サントラレ不等式を用いて、$f$ とその極 $f_{(s)}^\circ$ 間の双対性関係を導出する。
• 逆ホルダーおよびジェンセンの不等式を用いて、エントロピー $S(\mu)$ と $\log \det(\nabla^2 \psi)$ の積分との関係を確立する。
• 関数的ブレーシュケ・サントラレ不等式を用いて、積分 $\int f\,dx \cdot \int f_{(s)}^\circ\,dx$ をガウス型積分で上界で抑え込む。
• 双対性関係とエントロピーおよびヘッセ行列式の項を組み合わせることで、逆対数ソボレフ不等式を導出する。
• 極値の場合 $f(x) = c_0(1 - s|Ax|^2)^{1/(2s)}$（正定値行列 $A$）を用いて、不等式における等号成立条件を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして $L_p$-アフィン表面積の概念を凸体から対数凸関数および $s$-凸関数へ一般化できるか？
• RQ2 関数的 $L_p$-設定において、関数とその極との間にどのような双対性関係が成立するか？
• RQ3 $s$-凸関数に対してアフィン等周不等式を確立できるか。また、それらは古典的不等式とどのように関係するか？
• RQ4 $s$-凸密度関数に対する逆対数ソボレフ不等式の関数的アナログは何か？
• RQ5 新しい逆対数ソボレフ不等式は、$s \to 0$ のときどのようにして古典的不等式に回復されるか？

主な発見

• 関数的 $L_p$-アフィン表面積は、関連する凸ポテンシャル $\psi$ のヘッセ行列式を用いて $s$-凸関数に対して定義される。
• 関数的ブレーシュケ・サントラレ不等式により、$f$ とその極 $f_{(s)}^\circ$ 間の双対性関係が得られ、これにより新たな逆対数ソボレフ不等式が導かれる。
• $s$-凸密度関数の逆対数ソボレフ不等式は、$$\int \log \det(\nabla^2 \psi)\, d\mu \leq \int \log\left(\left(1 + s(\langle x,\nabla\psi\rangle - \psi)\right)^{1/s + n}\right) d\mu - S(\mu) + \log\left(\left(\frac{\pi}{s}\right)^n \frac{(\Gamma(1+1/(2s)))^2}{(\Gamma(1+n/2+1/(2s)))^2}(1+ns)\right)$$ で与えられる。
• 等号は、正定値行列 $A$ に対して $f(x) = c_0(1 - s|Ax|^2)^{1/(2s)}$ である場合にかつその場合に限り成立する。ここで $c_0$ は $\int f\,dx = 1$ となるように選ばれる。
• $s \to 0$ のとき、$s$-凸関数に対する逆対数ソボレフ不等式は、対数凸測度の古典的逆対数ソボレフ不等式に収束する。
• 本手法により、関数的双対性およびブレーシュケ・サントラレ不等式を用いて、逆対数ソボレフ不等式（等号成立の場合を含む）の短く一般的な証明が得られる。