[論文レビュー] Functionals of the Brownian motion, localization and metric graphs

Alain Comtet, J. Desbois+1 more|HAL (Le Centre pour la Communication Scientifique Directe)|Apr 20, 2005

advanced mathematical theories被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、不規則系における量子局在現象を理解するためにブラウン運動の関数型を調査し、確率過程と電子輸送、スペクトル統計、量子グラフを結びつける。平面的ブラウン運動の巻き付き関数型と、ランダム磁場中における荷電粒子のスペクトル的性質との間の関係を確立し、弱局在および強局在効果を統一的に扱う枠組みを提供する。

ABSTRACT

We review several results related to the problem of a quantum particle in a random environment. In an introductory part, we recall how several functionals of the Brownian motion arise in the study of electronic transport in weakly disordered metals (weak localization). Two aspects of the physics of the one-dimensional strong localization are reviewed : some properties of the scattering by a random potential (time delay distribution) and a study of the spectrum of a random potential on a bounded domain (the extreme value statistics of the eigenvalues). Then we mention several results concerning the diffusion on graphs, and more generally the spectral properties of the Schrödinger operator on graphs. The interest of spectral determinants as generating functions characterizing the diffusion on graphs is illustrated. Finally, we consider a two-dimensional model of a charged particle coupled to the random magnetic field due to magnetic vortices. We recall the connection between spectral properties of this model and winding functionals of the planar Brownian motion.

研究の動機と目的

• 弱い不規則性を示す金属における量子輸送とブラウン運動の関数型を結びつけること、特に弱局在の文脈において。
• 1次元のランダムポテンシャルのスペクトル統計を分析し、固有値の極値分布に注目する。
• スぺクトル行列式とトレース公式を用いて、計量グラフ上のシュレーディンガー作用素の拡散およびスペクトル的性質を研究すること。
• 平面的ブラウン運動の巻き付き関数型と、ランダム磁場中における荷電粒子のスペクトル的挙動との間の対応関係を確立すること。
• スペクトル統計、グラフの確率的モデリング、不規則ネットワークにおける位相破壊機構に関する未解決問題を特定すること。

提案手法

• フェルマー経路積分とブラウン運動を用いて、不規則媒質内での電子軌道をモデル化し、特に弱局在領域において。
• 平面的ブラウン運動の確率的面積および巻き付き関数型を用いて、磁気伝導度および位相破壊効果を記述する。
• スぺクトル行列式とゼータ関数を生成関数として用い、計量グラフ上での拡散およびスペクトル的性質を特徴付ける。
• トレース公式および量子カオスの概念を用いて、グラフ上の古典的力学と量子スペクトル統計との関係を関係づける。
• エク cursio 理論および確率的ツールを用いて、スターグラフおよび滞在時間分布を分析する。
• 任意のトポロジーを持つネットワークにおける電子-電子位相破壊をモデル化するため、ブラウンブリッジの非局所的関数型を導入する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブラウン運動の関数型、例えば確率的面積や巻き付きが、弱い不規則性を持つ金属における磁気伝導度および位相破壊にどのように関係するか。
• RQ2 散乱におけるウィグナー遅延時間とブラウン運動の指数関数的関数型との間にはどのような関係があるか。
• RQ3 1次元のランダムポテンシャルにおける固有値の極値統計は、ブラウン運動の最初の抜出自時分布とどのように関係するか。
• RQ4 計量グラフ上のシュレーディンガー作用素のスぺクトル行列式は、拡散および局在的性質をどのように符号化するか。
• RQ5 平面的ブラウン運動の巻き付き関数型は、ランダム磁場中における荷電粒子のスペクトル的性質をどのように特徴付けるか。

主な発見

• 不規則金属における弱局在補正は、時間反転された電子経路の干渉に起因し、ブラウン運動関数型によってモデル化される。
• 1次元のランダムポテンシャルにおけるn番目の固有値の分布は、ブラウン運動の最初の抜出自時分布に関連している。
• 計量グラフ上でのスぺクトル行列式は、拡散的性質の生成関数として機能し、ネットワーク上での量子カオスおよび弱局在の研究に用いることができる。
• ランダム磁場中における荷電粒子のスペクトル的性質は、平面的ブラウン運動の巻き付き関数型と関連している。
• 任意のトポロジーを持つネットワークでは、位相破壊関数型が非局所的になり、ラプラシアンのグリーン関数によって定義される核を含む。
• 数値シミュレーションにより、ランダム磁場フラックスを有する系に新たなタイプのスペクトル特異点が存在することが示唆され、標準的なリフシッツ理論では捉えきれない新たな特異的挙動を示している。