[論文レビュー] Functions of noncommuting self-adjoint operators under perturbation and estimates of triple operator integrals

А. Б. Александров, Fëdor Nazarov+1 more|arXiv (Cornell University)|May 27, 2015

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、非可換自己共役作用素およびユニタリ作用素の関数に対する、$1 \leq p \leq 2$ におけるシュレーディンガー＝フォン・ノイマンノルム $\mathbf{S}_p$ におけるリプシッツ型評価を、三重作用素積分と新規のハーガープ風テンソル積枠組みを用いて確立する。関数がベゾフ空間 $B_{\infty,1}^1(\mathbb{R}^2)$ に属する場合、このような評価が得られることを示し、作用素ノルムや $p > 2$ の場合には成立しないことから、条件の鋭さが解明される。

ABSTRACT

We define functions of noncommuting self-adjoint operators with the help of double operator integrals. We are studying the problem to find conditions on a function $f$ on ${\Bbb R}^2$, for which the map $(A,B)\mapsto f(A,B)$ is Lipschitz in the operator norm and in Schatten--von Neumann norms $\boldsymbol{S}_p$. It turns out that for functions $f$ in the Besov class $B_{\infty,1}^1({\Bbb R}^2)$, the above map is Lipschitz in the $\boldsymbol{S}_p$ norm for $p\in[1,2]$. However, it is not Lipschitz in the operator norm, nor in the $\boldsymbol{S}_p$ norm for $p>2$. The main tool is triple operator integrals. To obtain the results, we introduce new Haagerup-like tensor products of $L^\infty$ spaces and obtain Schatten--von Neumann norm estimates of triple operator integrals. We also obtain similar results for functions of noncommuting unitary operators.

研究の動機と目的

• 関数 $f$ が $\mathbb{R}^2$ 上でどのような条件を満たすかを特定し、写像 $(A,B) \mapsto f(A,B)$ が作用素ノルムおよびシュレーディンガー＝フォン・ノイマンノルム $\mathbf{S}_p$ でリプシッツ的であることを保証すること。
• 非可換自己共役作用素およびユニタリ作用素の関数が摂動に対してどのように振る舞うかを分析すること。
• $1 \leq p \leq 2$ に対して、$f(A,B) - f(A',B')$ のシュレーディンガー＝フォン・ノイマンノルムの鋭い境界を、$\|A - A'\|_{\mathbf{S}_p}$ および $\|B - B'\|_{\mathbf{S}_p}$ の関数として確立すること。
• 作用素積分の評価に用いるために、$L^\infty$ 空間のハーガープ風テンソル積 $L^\infty \otimes_h L^\infty \otimes^h L^\infty$ を導入・利用すること。

提案手法

• 非可換自己共役作用素のスペクトル測度を用いた二重作用素積分による $f(A,B)$ の定義。
• 差 $f(A,B) - f(A',B')$ の三重作用素積分表現を用い、差分商 $\mathfrak{D}^{[1]}f$ および $\mathfrak{D}^{[2]}f$ を含む。
• 三重作用素積分のシュレーディンガー＝フォン・ノイマンノルムを制御するため、$L^\infty \otimes_h L^\infty \otimes^h L^\infty$ の形をしたハーガープ風テンソル積を導入する。
• 三角多項式近似と関数 $\Xi_n(z) = \frac{1}{2n+1}\sum_{k=-n}^n z^k$ を用いて、差分商の作用素ノルムを推定する。
• 関数 $f \in B_{\infty,1}^1(\mathbb{R}^2)$ に対して、$\|\mathfrak{D}^{[1]}f\|_{L^\infty \otimes_h L^\infty \otimes^h L^\infty} \leq \text{const} \cdot \|f\|_{B_{\infty,1}^1}$ を証明する。
• トーラス $\mathbb{T}^2$ 上での類似の公式およびノルム推定を用いて、ユニタリ作用素への結果の拡張を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $1 \leq p \leq 2$ に対して、関数 $f$ が $\mathbb{R}^2$ 上でどのような関数であるとき、写像 $(A,B) \mapsto f(A,B)$ が $\mathbf{S}_p$ ノルムでリプシッツ的であるか？
• RQ2 関数 $f$ がベゾフ空間 $B_{\infty,1}^1(\mathbb{R}^2)$ に属する場合、$\mathbf{S}_p$ ノルムにおけるリプシッツ性が保証されるか？また、この条件は鋭いか？
• RQ3 なぜ作用素ノルムや $\mathbf{S}_p$ ノルム（$p > 2$）では、$f \in B_{\infty,1}^1(\mathbb{R}^2)$ であってもリプシッツ評価が成立しないのか？
• RQ4 新しいテンソル積構造を用いて、シュレーディンガー＝フォン・ノイマンノルムにおける三重作用素積分をどのように推定できるか？
• RQ5 非可換作用素の摂動論において、差分商 $\mathfrak{D}^{[1]}f$ および $\mathfrak{D}^{[2]}f$ の役割は何か？

主な発見

• 関数 $f$ がベゾフ空間 $B_{\infty,1}^1(\mathbb{R}^2)$ に属する場合、$1 \leq p \leq 2$ に対して $\mathbf{S}_p$ ノルムでリプシッツ評価が得られ、$\|f(A,B) - f(A',B')\|_{\mathbf{S}_p} \leq \text{const} \cdot \|f\|_{B_{\infty,1}^1} \cdot \max\{\|A - A'\|_{\mathbf{S}_p}, \|B - B'\|_{\mathbf{S}_p}\}$ の形の境界が成立する。
• 作用素ノルムや $\mathbf{S}_p$（$p > 2$）では、$f \in B_{\infty,1}^1(\mathbb{R}^2)$ であってもリプシッツ性は成立せず、反例によって示される。
• 差分商 $\mathfrak{D}^{[1]}f$ および $\mathfrak{D}^{[2]}f$ はそれぞれハーガープ風テンソル積 $L^\infty \otimes_h L^\infty \otimes^h L^\infty$ および $L^\infty \otimes^h L^\infty \otimes_h L^\infty$ に属し、そのノルムは $\|f\|_{B_{\infty,1}^1}$ によって制御される。
• ユニタリ作用素の場合、$f \in B_{\infty,1}^1(\mathbb{T}^2)$ ならば、$1 \leq p \leq 2$ に対して同様のリプシッツ評価が $\mathbf{S}_p$ ノルムで成立し、$f$ の $B_{\infty,1}^1$ ノルムに同じ依存関係を示す。
• 証明は、三角多項式による差分商の分解と核 $\Xi_n$ を用い、差分商の行列ノルムに対する一様な $L^2$ 型の境界を可能にする。
• 結果は鋭い：$1 \leq p \leq 2$ に対して $\mathbf{S}_p$ ノルムにおけるリプシッツ評価を保証するには、$B_{\infty,1}^1(\mathbb{R}^2)$ より大きな関数空間は必要ない。