[論文レビュー] Functions of operators under perturbations of class $\bS_p$

А. Б. Александров, Vladimir Peller|ArXiv.org|Aug 25, 2009

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$ A - B \in \mathbf{S}_p $ のとき、作用素差 $ f(A) - f(B) $ および高階差 $ \Delta_K^m f(A) $ の鋭いシュタイン・フォン・ノイマンノルム推定値を確立する。関数 $ f \in \Lambda_\alpha(\mathbb{R}) $、$ 1 < p < \infty $、$ 0 < \alpha < \infty $ のとき、$ f(A) - f(B) \in \mathbf{S}_{p/\alpha} $ が成り立つ。ユニタリ作用素、収縮作用素、準可換子への応用を含め、特徴付けのためのトレース公式と必要条件を提示する。

ABSTRACT

This is a continuation of our paper \cite{AP2}. We prove that for functions $f$ in the Hölder class $Ł_\a(\R)$ and $1

研究の動機と目的

• Hölder–Zygmund空間 $ \Lambda_\alpha(\mathbb{R}) $ に属する関数 $ f $ に対して、$ A - B \in \mathbf{S}_p $ のとき $ f(A) - f(B) $ がシュタイン・フォン・ノイマンクラス $ \mathbf{S}_q $ に属するかを特定すること。
• $ \|f(A) - f(B)\|_{\mathbf{S}_{p/\alpha}} $ の鋭いノルム推定値を $ \|A - B\|_{\mathbf{S}_p} $ および $ \|f\|_{\Lambda_\alpha} $ の関数として確立すること。
• 作用素の単位円上および単位円板上への一般化を含め、高階差 $ \Delta_K^m f(A) $、準可換子 $ f(A)Q - Qf(B) $ への結果の拡張。
• $ A - B \in \mathbf{S}_p $ のもとで $ f(A) - f(B) \in \mathbf{S}_q $ となるような $ f $ に対する必要条件を導出し、2階差のためのスペクトルシフト関数を導入すること。

提案手法

• スペクトル測度を含む積分作用素として $ f(A) - f(B) $ および高階差を表現するため、多重作用素積分の理論を用いる。
• $ \Lambda_\alpha(\mathbb{R}) $ に属する関数の dyadic 分解と、dyadic ブロック $ f_n $ の推定値を用いて、作用素差の特徴値を制御する。
• 擬ノルムイデアルおよびシュタイン・フォン・ノイマンクラス $ \mathbf{S}_p $ の文脈で、補間および主要化技術を適用する。
• 準可換子 $ f(A)Q - Qf(B) $ の推定値を、周波数成分の dyadic 分解と特徴値の主要化を用いて確立する。
• 2階差 $ f(A - K) - 2f(A) + f(A + K) $ のためのスペクトルシフト関数とトレース公式を導出し、Krein のトレース公式と関連付ける。
• Besov 空間および Triebel–Lizorkin 空間の結果を用いて、摂動イデアルを保存する関数クラスを特徴付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ f \in \Lambda_\alpha(\mathbb{R}) $ で、$ 1 < p < \infty $ のとき、$ A - B \in \mathbf{S}_p $ のもとで $ f(A) - f(B) \in \mathbf{S}_{p/\alpha} $ が成り立つ関数はどれか？
• RQ2 $ \|f(A) - f(B)\|_{\mathbf{S}_{p/\alpha}} $ の鋭いノルム推定値は、$ \|A - B\|_{\mathbf{S}_p} $ および $ \|f\|_{\Lambda_\alpha} $ の関数としてどのように表されるか？
• RQ3 ユニタリ作用素、収縮作用素、および準可換子 $ f(A)Q - Qf(B) $ に対しても同様の結果が成り立つか？
• RQ4 $ A - B \in \mathbf{S}_p $ のもとで $ f(A) - f(B) \in \mathbf{S}_q $ となるような $ f $ に対する必要条件は何か？
• RQ5 2階差 $ f(A - K) - 2f(A) + f(A + K) $ に対してスペクトルシフト関数を定義できるか？ どのようなトレース公式が成り立つか？

主な発見

• $ f \in \Lambda_\alpha(\mathbb{R}) $ かつ $ 1 < p < \infty $ のとき、$ A - B \in \mathbf{S}_p $ ならば $ f(A) - f(B) \in \mathbf{S}_{p/\alpha} $ であり、$ \|f(A) - f(B)\|_{\mathbf{S}_{p/\alpha}} \leq c \|f\|_{\Lambda_\alpha} \|A - B\|_{\mathbf{S}_p} $ が成り立つ。
• 準可換子に関しては $ f(A)Q - Qf(B) \in \mathbf{S}_{p/\alpha} $ であり、$ \|f(A)Q - Qf(B)\|_{\mathbf{S}_{p/\alpha}} \leq c \|f\|_{\Lambda_\alpha} \|Q\|^{1-\alpha} \|AQ - QB\|_{\mathbf{S}_p}^{\alpha} $ が成り立つ。
• $ f \in \Lambda_\alpha(\mathbb{R}) $ のとき、高階差 $ \Delta_K^m f(A) \in \mathbf{S}_{p/\alpha} $ であり、ノルム推定値は $ \|K\|_{\mathbf{S}_p} $ に依存する。
• 2階差のためのスペクトルシフト関数は、トレース公式 $ \operatorname{Tr}\big( f(A - K) - 2f(A) + f(A + K) \big) = \int \xi(\lambda) \, d\lambda $ を満たし、$ \xi \in L^1 $ である。
• $ A - B \in \mathbf{S}_p $ のもとで $ f(A) - f(B) \in \mathbf{S}_q $ となるような $ f $ に対する必要条件が導出され、Besov 空間 $ B_{\infty 1}^\alpha(\mathbb{R}) $ への属する条件と関連づけられる。
• $ AQ - QB \in \mathbf{S}_1 $ のとき、$ f(A)Q - Qf(B) \in \mathbf{S}_{1/\alpha, \infty} $ であり、$ \|f(A)Q - Qf(B)\|_{\mathbf{S}_{1/\alpha, \infty}} \leq c \|f\|_{\Lambda_\alpha} \|Q\|^{1-\alpha} \|AQ - QB\|_{\mathbf{S}_1}^{\alpha} $ が成り立つ。