[論文レビュー] Functions preserving slowly oscillating double sequences

Hüseyi̇n Çakallı, Richard F. Patterson|arXiv (Cornell University)|Dec 25, 2013

Approximation Theory and Sequence Spaces参考文献 16被引用数 28

ひとこと要約

この論文は、R² の部分集合上の因数分解可能な二重関数を調査し、二変数の実数値関数が有界な二重区間 I×I で一様連続であるための必要十分条件として、ゆっくりと振動する二重数列を保存することを確立している。本研究は、一様連続性とゆっくり振動する数列の逐次的挙動との関係を明らかにし、プリングシュタイン収束と振動基準を用いて、古典的な連続性の結果を二重数列へと一般化している。

ABSTRACT

A double sequence $ extbf{x}=\{x_{k,l}\}$ of points in $ extbf{R}$ is slowly oscillating if for any given $\varepsilon>0$, there exist $α=α(\varepsilon)>0$, $δ=δ(\varepsilon) >0$, and $N=N(\varepsilon)$ such that $|x_{k,l}-x_{s,t}|

研究の動機と目的

• A×A⊂R² に定義された因数分解可能な二重関数の連続性に類する性質を調査すること。
• ゆっくりと振動する数列に基づく、二重関数のための新しい種類の連続性を導入し、分析すること。
• 数列の保存性に基づいて、一様連続性の特徴づけを確立すること。
• 古典的な連続性および収束に関する結果を、二重数列の文脈へと拡張すること。

提案手法

• パラメータ α(ε), δ(ε), N(ε) を用いて、|x_{k,l} - x_{s,t}| < ε が成り立つような、k,l ≥ N かつ s ∈ [(1+α)k, (1+α)k], t ∈ [(1+δ)l, (1+δ)l] であるようなゆっくりと振動する二重数列を定義する。
• 一様連続性を適用して、一様連続関数がゆっくりと振動する二重数列を保存することを示す。
• 二重数列に対するボルツァーノ＝ヴァイエルシュトラスの定理を用いて、一様連続でない関数からゆっくりと振動する部分列を抽出する。
• ε-δ 論法を用いて、関数がゆっくりと振動する数列を保存するならば、その関数は一様連続でなければならないことを証明する。
• ゆっくりと振動する二重数列を保存する関数列の一様極限も、同様にこのような数列を保存することを示す。
• この結果を、プリングシュタインの意味で一様に収束する二重数列の関数列へと拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 因数分解可能な二重関数がゆっくりと振動する二重数列を保存するための条件は何か？
• RQ2 数列の保存性を用いて、二変数の実数値関数の一様連続性を特徴づけることは可能か？
• RQ3 ゆっくりと振動する二重数列の保存は、連続性または一様連続性を意味するか？
• RQ4 ゆっくりと振動する二重数列を保存する関数列の一様極限は、数列保存性に関してどのように振る舞うか？
• RQ5 二重数列における P 収束とゆっくり振動性の関係は何か？

主な発見

• A×A 上の一様連続な因数分解可能な二重関数は、常にゆっくりと振動する二重数列を保存する。
• 因数分解可能な二重関数がゆっくりと振動する二重数列を保存するならば、P 収束する二重数列を保存する。
• 二変数の実数値関数が有界な二重区間 I×I で一様連続であることは、I×I からのゆっくりと振動する二重数列を保存することと同値である。
• ゆっくりと振動する二重数列を保存する関数列の一様極限も、同様にこのような数列を保存する。
• P 収束するか、コーシー列である二重数列は、必ずゆっくりと振動するが、その逆は成り立たない。
• ゆっくりと振動する二重数列を保存する関数列の二重数列に対する一様 P 極限も、同様にこのような数列を保存する。