[論文レビュー] Functorial embedded resolution via weighted blowings up

Dan Abramovich, Michael Temkin+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 17, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 36被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、特異点を特徴0体上の滑らかない多様体 $Y$ に埋め込んだ多様体 $X$ の特異点に対して、辞書的順序不変量によって定義される中心に沿ったスタック的重み付き吹き上げを用いて、函子的埋め込み特異点解消アルゴリズムを提示する。この方法は明示的で選択を必要とせず、各ステップで最大不変量が厳密に減少するため、有限回の反復で滑らかな固有変換が得られ、滑らかな射に関して完全な函手性を保証する。

ABSTRACT

We provide a procedure for resolving, in characteristic 0, singularities of a variety $X$ embedded in a smooth variety $Y$ by repeatedly blowing up the worst singularities, in the sense of stack-theoretic weighted blowings up. No history, no exceptional divisors, and no logarithmic structures are necessary to carry this out; the steps are explicit geometric operations requiring no choices; and the resulting algorithm is efficient. A similar result was discovered independently by McQuillan in a manuscript posted on this archive simultaneously.

研究の動機と目的

• 対数形式や理想的指数といった補助構造に依存せず、滑らかでない多様体の埋め込み特異点解消のための単純で明示的かつ函手的なアルゴリズムを開発すること。
• ヒロナカのプログラムを拡張し、全般の滑らかな射の対についても函手的である解消函手を定義すること。
• 例外的除集合の追跡や履歴管理を排除するため、特異点の深刻さを示す幾何的不変量（重み付き乗数の辞書的順序）を用いて各吹き上げステップを誘導すること。
• 最大不変量に沿って中心に沿った重み付き吹き上げが、滑らかな中心と制御可能な幾何構造を備えた有限で終了する解消プロセスをもたらすことを示すこと。
• デスタック化を用いて非埋め込みおよび粗モジュライ設定へと解消を拡張し、函手性と正則性を保つこと。

提案手法

• 不変量 $\operatorname{inv}_p(X)$ によって定義される辞書的順序不変量に沿ったスタック的重み付き吹き上げを用いる。この不変量は各点における特異点の深刻さを検出する。
• 吹き上げの中心は $\operatorname{inv}_p(X)$ の最大値によって決定され、重み付き座標 $x_i^{1/w_i}$ を用いて吹き上げが実行される。重みは不変量から導出される。
• 吹き上げは商スタック $[\operatorname{Spec} R / \boldsymbol{\mu}_w]$ として構成され、滑らかさとpullback下での不変量の整合性が保証される。
• 各ステップで $\operatorname{maxinv}(X)$ が厳密に減少するため、有限回の反復で終了することが保証される。
• 不変量の挙動と滑らかなpullbackの下での不変量の保存に依存することで、例外的除集合の追跡や対数的構造の使用を回避する。
• 不変量がpullbackで保存されることを保証することで、全般の滑らかな射についての函手性を達成し、ベース変換と可換となる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての滑らかな射について函手的であり、かつ対数形式や理想的指数といった補助構造に依存しない解消アルゴリズムを構築できるか？
• RQ2 選択や履歴管理を必要とせず、特異点を検出する幾何的不変量に基づいて吹き上げを誘導する解消プロセスを定義することは可能か？
• RQ3 スタック的重み付き吹き上げが、埋め込み特異点の有限で終了する解消アルゴリズムの唯一の幾何的操作として機能できるか？
• RQ4 重み付き吹き上げの使用が例外的locusの幾何に与える影響は何か？また、中心と正規交叉を保つのか？
• RQ5 埋め込み解消を非埋め込みおよび粗モジュライ設定へと拡張することは可能か？その際、函手性と正則性を保つことができるか？

主な発見

• 各ステップで $\operatorname{maxinv}(X)$ が厳密に減少し、$n$ ステップ後に $X_n$ が滑らかになるため、有限回の反復で終了することが保証される。
• 解消函手 $F_{er}$ は、全般の滑らかな射の対について函手的であり、pullback下での不変量の保存により、全般の滑らかな射についても成り立つ。
• 例 $X = V(x^7 + y^5)$ において、重み付き吹き上げ後の固有変換 $X'$ は滑らかであり、$Y'$ は商スタック $[\operatorname{Spec} k[u,y']/\boldsymbol{\mu}_7]$ である。
• 非埋め込み解消函手 $F_{ner}$ は存在し、全般の滑らかな射について函手的であり、任意の純次元で削減されたスタックを正則なものに解消する。
• ベルクのデスタック化を用いて粗解消函手 $F_{crs}$ が構成され、射影的で正則な粗モジュライ空間が得られ、全般の滑らかな射について函手的である。
• 例外的locusが中心と正規交叉をなさないことがある。例として、新しい中心が例外的除集合 $z=0$ に接する場合が示されている。