[論文レビュー] Functorial prolongations of some functional bundles

Antonella Cabras, Josef Janyška+1 more|ArXiv.org|Jul 19, 2004

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 28

ひとこと要約

本稿は、同一の底空間を持つ2つのファイバーマニフォールドの繊維間の滑らかな写像からなる関数的バンドルのファンクター的拡張を導入する。Weil代数と自然変換を用いてベクトル場の括弧を保つ拡張を確立し、ジェット拡張を一般化し、強差とWeilバンドル理論に基づく新しい代数的枠組みにより、$T^A$および$G$-拡張の下でベクトル場のリー括弧が保存されることを証明する。

ABSTRACT

We discuss two kinds of functorial prolongations of the functional bundle of all smooth maps between the fibers over the same base point of two fibered manifolds over the same base. We study the prolongation of vector fields in both cases and we prove that the bracket is preserved. Our proof is based on several new results concerning the finite dimensional Weil bundles.

研究の動機と目的

• 共通の底空間上のファイバーマニフォールドの繊維間の滑らかな写像の関数的バンドルへ、古典的ジェット拡張を一般化すること。
• Weil代数と自然変換を用いて、そのような関数的バンドル上のベクトル場のファンクター的拡張を定義し、研究すること。
• 無限次元関数的状況下でも、ベクトル場のリーブラケットがこれらの拡張の下で保存されることを証明すること。
• 主バンドルおよび関連バンドルの構成を用いて、交換準同型およびフロー拡張の概念を関数的バンドルへ拡張すること。
• Weilファンクターとファイバー積を保存するバンドルファンクターを用いた、$J^r$および$T^A$を一般化する統一的枠組みを提供すること。

提案手法

• Weil代数$A$を用いて、Weilバンドルの共変ファンクター的アプローチにより、${\mathcal{F}}(E_1,E_2) \to M$の$T^A$-拡張を定義する。
• 交換写像$\kappa^A$を組み合わせた、場の拡張作用素${{\mathcal{T}}}^{A}X = \kappa^{A}_{{\mathcal{F}}(E_1,E_2)} \circ T^{A}X$を導入する。
• Weil代数の文脈において強差の概念を適用し、関数的バンドル上のリーブラケットを代数的に特徴付ける。
• $G$-拡張に関しては、群準同型$H: G^r_m \to \operatorname{Aut} A$を用いて、$P^rM[T^A{\mathcal{F}}(E_1,E_2), H_{{\mathcal{F}}(E_1,E_2)}]$の部分バンドル$G{\mathcal{F}}(E_1,E_2)$として構成する。
• 積ベクトル場$\{{\mathcal{P}}^r\xi, {\mathcal{T}}^A X\}$を$G{\mathcal{F}}(E_1,E_2)$に制限することで、ベクトル場の新しい拡張${\mathcal{G}}X$を定義し、括弧保存を保証する。
• $M$上での$\mu^G_E$の準同型を関数的状況に拡張し、$\mu^G_{{\mathcal{F}}(E_1,E_2)}$を定義し、${\mathcal{G}}X = \mu^G_{{\mathcal{F}}(E_1,E_2)} \circ (j^r\xi \times_M GX)$が成り立つようにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的な$T^A$によるベクトル場の拡張を、繊維間の滑らかな写像の関数的バンドルという無限次元設定にどのように拡張できるか。
• RQ2 Weil代数を用いたファンクター的拡張において、関数的バンドル${\mathcal{F}}(E_1,E_2)$上のベクトル場のリーブラケットが保存されるか。
• RQ3 関数的バンドルに対する$J^r$-拡張の適切な一般化は何か、そしてファイバー積を保存するバンドルファンクターとどのように関係するか。
• RQ4 交換準同型および関連バンドル構成の概念を、多様体から関数的バンドルへどのように拡張できるか。
• RQ5 $G{\mathcal{F}}(E_1,E_2)$上のベクトル場の拡張を、ジェット拡張と$T^A$-拡張の観点から実現する標準的準同型は存在するか。

主な発見

• 場の拡張作用素${{\mathcal{T}}}^{A}X = \kappa^{A}_{{\mathcal{F}}(E_1,E_2)} \circ T^{A}X$は、フローが存在しない場合でさえ、関数的バンドル${\mathcal{F}}(E_1,E_2)$上のベクトル場のリーブラケットを保存する。
• $T^A$における括弧保存は、Weil代数における強差に基づく完全に代数的な証明により確立され、強差の構造的特徴づけがWeil代数の構造に基づいて明確にされる。
• $G$-拡張においても括弧は保存される：$[{{\mathcal{G}}}X_1, {{\mathcal{G}}}X_2] = {{\mathcal{G}}}[X_1,X_2]$、これは関連バンドル上の積ベクトル場の構成により示される。
• $G{\mathcal{F}}(E_1,E_2)$の構成は$J^r{\mathcal{F}}(E_1,E_2)$を一般化しており、$J^r$は特別な場合$G = (\mathbb{D}^r_m, \operatorname{id}, \operatorname{id})$として回復される。
• $F$-滑らか準同型$\mu^G_{{\mathcal{F}}(E_1,E_2)}$が定義され、${{\mathcal{G}}}X = \mu^G_{{\mathcal{F}}(E_1,E_2)} \circ (j^r\xi \times_M GX)$が成り立つ。これは多様体の場合の拡張を関数的バンドルへと一般化する。
• $H_{{\mathcal{F}}(E_1,E_2)}$-不変性により、関連バンドル上の誘導されたベクトル場は適切に定義され、射影可能となり、${\mathcal{G}}X$の構成が可能になる。