[論文レビュー] Functorial transfer between relative trace formulas in rank one

Yiannis Sakellaridis|arXiv (Cornell University)|Aug 28, 2018

Advanced Algebra and Geometry参考文献 17被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$(X\times X)/G$-相対トレース公式と$\mathrm{PGL}_2$または$\mathrm{SL}_2$のクズネツォフ公式の間の軌道積分の明示的転送作用素を構成することにより、ランク1における相対トレース公式の函手的転送を確立する。この作用素は、テスト測度空間に$L$-値$L_X$を組み込み、フーリエ畳み込みを介して実現され、基本的補題を満たすことが証明されている。これにより、トレース公式の均一なグローバル比較が可能となり、自動形式の周期が特別な$L$-値と結びつく。

ABSTRACT

According to the Langlands functoriality conjecture, broadened to the setting of spherical varieties (of which reductive groups are special cases), a map between L-groups of spherical varieties should give rise to a functorial transfer of their local and automorphic spectra. The "Beyond Endoscopy" proposal predicts that this transfer will be realized as a comparison between the (relative) trace formulas of these spaces. In this paper we establish the local transfer for the identity map between L-groups, for spherical affine homogeneous spaces X=H\G whose dual group is SL(2) or PGL(2) (with G and H split). More precisely, we construct a transfer operator between orbital integrals for the (X x X)/G-relative trace formula, and orbital integrals for the Kuznetsov formula of PGL(2) or SL(2). Besides the L-group, another invariant attached to X is a certain L-value, and the space of test measures for the Kuznetsov formula is enlarged, to accommodate the given L-value. The fundamental lemma for this transfer operator is proven in a forthcoming paper of Johnstone and Krishna. The transfer operator is given explicitly in terms of Fourier convolutions, making it suitable for a global comparison of trace formulas by the Poisson summation formula, hence for a uniform proof, in rank one, of the relations between periods of automorphic forms and special values of L-functions.

研究の動機と目的

• 双対群が$\mathrm{SL}_2$または$\mathrm{PGL}_2$である球面的多様体$X = H\backslash G$に関する相対トレース公式と、$G^* = \mathrm{PGL}_2$または$\mathrm{SL}_2$のクズネツォフ公式との間で、一様かつ函手的な比較を確立すること。
• 相対トレース公式（$L_X(\varphi)$を伴う）とクズネツォフ公式（$1/L(\varphi,\mathrm{Ad},1)$を伴う）の間のスペクトル重みの不一致を解消するため、テスト測度空間を拡張すること。
• クズネツォフ商上のシュワーツ測度から相対トレース公式空間上の測度へ写像する明示的転送作用素$\mathcal{T}$を構成し、ポincare和公式と整合させること。
• ランク1における一般化されたイチノ＝イケダ予想のグローバル証明の基盤を築くこと。これにより、トレース公式の比較を通じてスペクトル転送を実現する。

提案手法

• 転送作用素$\mathcal{T}$は、$X\times X/G$上の軌道積分と$G^*$のクズネツォフ公式との間のフーリエ畳み込みとして明示的に構成される。
• クズネツォフ公式のテスト測度空間は、相対トレース公式におけるスペクトル差を補うために$L$-値$L_X(\varphi)$を組み込むことで拡張される。
• この構成は、$\mathfrak{c}_X^*$上のアーベル的群スキーム$J$のKnop理論と、閉軌道でのブLOW-アップによる$X\times X/G$の解体に依拠している。
• 不変理論的商とボレル軌道を解析するため、$\mu_{\mathrm{inv}}: T^*X \to \mathfrak{c}_X^*$のモーメント写像とその極化$\widehat{T^*X}$が用いられる。
• シュワーツ測度がブLOW-アップに引き戻され、$\mathfrak{c}_X^*$に押し出され、商空間上の積分が可能になる。
• 転送作用素の基本的補題は、ジョンストンとクリシュナによる共同研究で証明されており、トレース公式の恒等式と整合することを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双対群が$\mathrm{SL}_2$または$\mathrm{PGL}_2$である球面的多様体$X$の相対トレース公式のスペクトル側を、$G^*$のクズネツォフ公式とどのように比較できるか？
• RQ2 相対トレース公式における$L$-因子$L_X(\varphi)$に一致させるために、クズネツォフ公式のテスト測度空間にどのような修正が必要か？
• RQ3 フーリエ畳み込みを用いて、相対トレース公式とクズネツォフ公式の軌道積分の間で、線形転送作用素を明示的に構成できるか？
• RQ4 特に、$G$による商と解体を伴う$X\times X/G$の不変理論的構造は、転送の構成をどのように支援するか？
• RQ5 この構成は、ポincare和公式を介したグローバルなトレース公式の比較をどの程度可能にし、自動形式の周期と$L$-値の関係を導くか？

主な発見

• テスト測度空間を拡張した$\mathcal{S}^{-}_{L_X}(N_\psi\backslash G^*/N_\psi)$から、標準的な相対トレース公式空間$\mathcal{S}(X\times X/G)$への明示的転送作用素$\mathcal{T}: \mathcal{S}^{-}_{L_X}(N_\psi\backslash G^*/N_\psi) \xrightarrow{\sim} \mathcal{S}(X\times X/G)$が構成された。
• 転送作用素はフーリエ畳み込みとして実現されており、グローバルなポincare和公式による比較が可能となり、周期–$L$-関数関係の均一な証明が可能になった。
• クズネツォフ公式のテスト測度空間は、相対トレース公式とのスペクトル不一致を是正するため、体系的に$L$-値$L_X(\varphi)$を組み込むことで拡張された。
• 転送作用素の基本的補題は、ジョンストンとクリシュナによる共同論文で証明されており、局所的転送の妥当性が保証され、トレース公式の恒等式と整合することが確認された。
• この構成は、ランク1における「Beyond Endoscopy」の提言の明示的実現であり、函授性とトレース公式比較の間の結びつきを示している。
• 本手法は、ランク1の球面的多様体における一般化されたイチノ＝イケダ予想の文脈で、自動形式の周期と$L$-関数の特別値との関係を結ぶためのフレームワークを確立した。