[論文レビュー] Functoriality and the Inverse Galois problem II: groups of type B_n and G_2

Chandrashekhar Khare, Michael Larsen+1 more|ArXiv.org|Jul 5, 2008

Advanced Algebra and Geometry参考文献 20被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、関手性に基づく手法を拡張し、GL_{2n+1}およびGL_7におけるSp_{2n}およびG_2からの関手的リフトを通じて、Q上での有限単純群B_nおよびG_2をガロア群として実現する。自己双対な離散的自動形式表現を、特にB_nのp=2およびG_2のShinの精密化によって局所的成分を制御することで構成し、任意のt>0に対して、tで割り切れるkが存在し、SO_{2n+1}(F_{ℓ^k})^{der}またはG_2(F_{ℓ^k})がQ上、{∞, ℓ, q}を除いて不分岐なガロア群として現れることを証明する。

ABSTRACT

For every finite field F and every positive integer r, there exists a finite extension F' of F such that either SO(2r+1,F') or its simple derived group can be realized as a Galois group over Q. If the characteristic of F is 3 or 5 (mod 8), then we can guarantee that the derived group of SO(2r+1,F') can be realized. Likewise, for every finite field F, there exists a finite extension F' of F such that the finite simple group G_2(F') can be realized a Galois group over Q. The proof uses automorphic forms to construct Galois representations which cut out Galois extensions of the desired type.

研究の動機と目的

• Q上での型B_nおよびG_2の有限単純群に対する逆ガロア問題を、自動形式的手法を用いて解くこと。
• p≠2では自己双対な超臨界表現を有さないGL_{2n+1}(Q_p)の障害を乗り越えるために、p=2における局所的成分を用いること。
• 以前の研究で得られた関手的リフトに基づくガロア表現の構成を、C_n(ℓ^k)を超える例外的および古典的群へ拡張すること。
• 任意の与えられたtに対して、tで割り切れる任意の大きなkについて、SO_{2n+1}(F_{ℓ^k})^{der}およびG_2(F_{ℓ^k})と同型なガロア群が存在することを確立すること。

提案手法

• Cogdell-Kim-Piatetski-Shapiro-ShahidiおよびJiang-SoudryによるSp_{2n}からGL_{2n+1}へのグローバル関手的リフトを用い、GL_{2n+1}(A)上の自己双対な離散的自動形式表現を構成する。
• p=2における局所的成分として、深さ1の自己双対な超臨界表現を保証し、そのLanglandsパラメータがSO_{2n+1}(C)のジョルダン部分群を含むようにする。
• ShinのLanglandsパラメータ定理の精密化を活用し、有限場所での平方可積分性を仮定せず、G_2に適用可能なℓ-adicガロア表現を構成する。
• ℓ-adic表現をℓで割った剰余表現を用い、局所ガロア像の深い埋め込み性質を利用して、剰余像がB_nまたはG_2型の単純群であることを保証する。
• 分岐を制御するため、Π_qが深さ0の超臨界表現となるようなq≠2の素数を選択し、{∞, ℓ, q}を除いて不分岐であることを保証する。
• E_7の最小表現からのθ対応を用い、G_2からSp_6へ、さらにGL_7へとリフトすることで、G_2に必要な自動形式表現を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 型B_nおよびG_2の有限単純群は、自動形式および関手性を用いてQ上ガロア群として実現可能か？
• RQ2 p≠2では自己双対な超臨界表現を有さない状況下で、p=2における局所的成分を制御する自己双対な離散的自動形式表現をGL_{2n+1}上でどのように構成できるか？
• RQ3 ShinのLanglandsパラメータ定理の精密化は、ℓ-adicガロア表現の構成において、平方可積分性の仮定を回避するためにどの程度利用可能か？
• RQ4 ℓ-adicガロア表現を自動形式に付随させたときのmod-ℓ還元が、B_nまたはG_2型の単純群をもたらすための条件は何か？
• RQ5 この手法は、F_4などの他の例外的群へ一般化可能か？その場合、これらの群上の自動形式にℓ-adic表現を付随させられるか？

主な発見

• 任意の正の整数tおよび素数ℓに対して、tで割り切れるkが存在し、G_2(F_{ℓ^k})がQ上、{∞, ℓ, q}を除いて不分岐なガロア群として現れる。
• 奇素数ℓに対して、tで割り切れるkが存在し、SO_{2n+1}(F_{ℓ^k})^{der}またはSO_{2n+1}(F_{ℓ^k})がQ上ガロア群として現れる。
• ℓ≡3,5(mod 8)のとき、2がQ(√−ℓ)で分解する性質により、SO_{2n+1}(F_{ℓ^k})^{der}がQ上実現可能である。
• B_nの構成は、ジョルダン部分群の像を持つp=2における自己双対な超臨界表現に依存しており、ガロア像への深い埋め込みとmod-ℓ還元の制御を保証する。
• G_2では、Shinの精密化のおかげで、平方可積分性を仮定せずℓ-adic表現を構成でき、G_2(F_{ℓ^k})がガロア群として実現可能である。
• 本手法は、F_4などの他の例外的群へ一般化可能であり、その場合、それらの群上の自動形式にℓ-adic表現を付随させられる限り、逆ガロア問題への応用が可能である。