[論文レビュー] Functoriality of Automorphic L-Invariants and Applications

Lennart Gehrmann|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2017

Advanced Algebra and Geometry参考文献 17被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、全実体上の平行重さ2のGL(2)自己尖型表現に対して、アーベル的ベースチェンジおよびジャケット＝ラングランズ転送における自己尖型L不変量の函手的性質を確立する。標準的な非消滅仮定の下で、自己尖型L不変量がベースチェンジに関して不変であり、p進L関数の補間を通じて算術的L不変量と符号を除いて一致することを証明する。主な結果は、関手性およびテート周期の超越性を用いて符号の不確かさを解消する、モジュラー楕円曲線に対する例外的零点公式の新しい証明である。

ABSTRACT

We study the behaviour of automorphic L-Invariants associated to cuspidal representations of GL(2) of cohomological weight 0 under abelian base change and Jacquet-Langlands lifts to totally definite quaternion algebras. Under a standard non-vanishing hypothesis on automorphic L-functions and some technical restrictions on the automorphic representation and the base field we get a simple proof of the equality of automorphic and arithmetic L-invariants. This together with Spiess' results on p-adic L-functions yields a new proof of the exceptional zero conjecture for modular elliptic curves - at least, up to sign.

研究の動機と目的

• 全実体上のGL(2)自己尖型表現に対して、アーベル的ベースチェンジおよびジャケット＝ラングランズ転送における自己尖型L不変量の函手的性質を確立すること。
• 全実体上のモジュラー楕円曲線に対して、自己尖型L不変量と算術的L不変量の等価性（符号を除く）を証明すること。
• p進L関数およびテート周期の超越性を活用して、Hida族に依存しない、モジュラー楕円曲線に対する例外的零点予想の新証明（Hidaファミリー非依存）を提供すること。

提案手法

• Spießのp進L関数補間結果を用いて、自己尖型L不変量をp進L関数の微分と関連付ける。
• p進L関数のアーティン形式主義を適用して、アーベル的ベースチェンジにおけるL不変量の不変性を証明する。
• クaternion的スタイケルバーガー要素およびBergundeによるSpießの例外的零点公式の一般化を用いて、ベースチェンジのL不変量とジャケット＝ラングランズ上昇のL不変量を関連付ける。
• Cerednik-Drinfeldの均質化を用いて、クaternion的自己尖型表現のL不変量と算術的L不変量を結びつける。
• 補題1.3を用いて、L不変量の等式における有限個の例外的ケースの符号不確かさを制御する。
• テート周期の超越性（Barré-Sirieixら）を用いて、自己尖型L不変量と算術的L不変量の等式における符号不確かさを解消する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 GL(2)自己尖型表現について、全実体上でのアーベル的ベースチェンジに関して、自己尖型L不変量は函手的に振る舞うか？
• RQ2 Hidaファミリーやオイラー系に依存せずに、自己尖型L不変量と算術的L不変量の等価性を確立できるか？
• RQ3 自己尖型L不変量は、完全正定値クaternion代数へのジャケット＝ラングランズ転送に関してどのように変化するか？
• RQ4 超越数論を用いて、自己尖型L不変量と算術的L不変量の等式における符号不確かさを解消できるか？
• RQ5 関手性およびp進L関数補間を用いて、モジュラー楕円曲線に対する例外的零点公式を再証明できるか？

主な発見

• 自己尖型L不変量はアーベル的ベースチェンジに関して不変であり、Corollary 3.7で示された。
• 任意の数体Fに対して、自己尖型L不変量は無限遠における符号に依存しない。これはTheorem Aで確立された。
• GL(2)表現πの自己尖型L不変量は、完全正定値クaternion代数へのジャケット＝ラングランズ上昇πBのそれと符号を除いて一致する。これはTheorem Bで証明された。
• 自己尖型L不変量と算術的L不変量の等式における符号不確かさは、テート周期の超越性により解消され、Theorem Cで正確な等式が得られた。
• 関手性およびp進L関数補間を用いて、全実体上のモジュラー楕円曲線に対する例外的零点予想の新しい証明が得られた。この証明は符号を除いて有効である。
• すべての完全虚二次拡大体E（˜pが分解するもの）に対して、Lp(qA,˜p) = Lcyc(πE, q)が成り立つ。これは符号の解消が超越論的手段により確認されたことを示している。