[論文レビュー] Functors and Computations in Floer homology with Applications Part II

Claude Viterbo|arXiv (Cornell University)|May 3, 2018

Geometric and Algebraic Topology参考文献 4被引用数 169

ひとこと要約

本論文はFloerコホモロジーがGF-ホモロジーと同型であること、およびFH*(DT*N)がH*(ΛN)と同型であることを、生成関数と勾配流解析を通じて示す。

ABSTRACT

The results in this paper concern computations of Floer cohomology using generating functions. The first part proves the isomorphism between Floer cohomology and Generating function cohomology introduced by Lisa Traynor. The second part proves that the Floer cohomology of the cotangent bundle (in the sense of Part I), is isomorphic to the cohomology of the loop space of the base. This has many consequences, some of which were given in Part I (GAFA, Geom. funct. anal. Vol. 9 (1999) 985-1033), others will be given in forthcoming papers. The results in this paper had been announced (with indications of proof) in a talk at the ICM 94 in Z{ü}rich. Up to typos, this is the revised version from 2003.

研究の動機と目的

• 生成関数を用いた Floer コホモロジーの計算を動機づける。
• ラグランジュ対 L0,L1 の Floer コホモロジーと GF-ホモロジーの同型性を確立する。
• コタンジェント束 DT*N の Floer コホモロジーがループ空間のコホモロジー H*(ΛN) に等しいことを示す。
• Part I の結果を拡張し、ループ空間のトポロジーへの応用の基礎を築く。

提案手法

• 無限遠で二次的になる生成関数 S をラグランジュ部分多様体に対して定義・使用する。
• 作用 A と生成関数 S の間の内挿を行う A_H を構築し、臨界点と Floer軌跡によって FH*(L0,L1; a,b) を定義する。
• Floer 複体と GF コホモロジーを比較することにより FH*(L0,L1; a,b) ≃ GF*(L0,L1; a,b) を証明する。
• 対角部分多様体、シンプレクトモorphism のグラフ、Conley 指標の議論を含む一連の同型写像を通じて、DT*N の Floer コホモロジーを H*(ΛN) に関連づける。
• 勾配様流とほぼ複素構造を用いて、Floer 軌跡と生成関数のモース理論的軌跡を結びつける。
• レジェンドル対称性と作用汎関数解析を用いて、ハミルトン Floer 理論をループ空間汎関数と結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限遠で二次になる生成関数を持つラグランジュ対 L0,L1 に対して、Floer コホモロジー FH*(L0,L1; a,b) は GF*(L0,L1; a,b) と一致するか？
• RQ2 DT*N の FH*( ) を基底のループ空間のコホモロジー H*(ΛN) に同定できるか？
• RQ3 Floer 理論を生成関数およびループ空間のコホモロジーへ結びつける中間的同型写像と構成（例：対角の工夫、グラフの構成）は何か？
• RQ4 勾配流の摂動と Conley 指標の技法は、Floer–GF–ループ空間の同等性をどのように明らかにするか？

主な発見

• FH*(L0,L1; a,b) は無限遠で二次的な生成関数を持つ場合 GF*(L0,L1; a,b) と同型である。
• コタンジェント束の場合、FH*(DT*N) は H*(ΛN) に同型である。
• 同型性の枠組みは有理係数の S^1-等式コホモロジーへ拡張できる。
• 本論文は、Floer 軌跡が生成関数 S の勾配軌道に対応することを、内挿 A_H と適切なほぼ複素構造を介して詳しく構成している。