[論文レビュー] Fundamental Automorphisms of Clifford Algebras and an Extension of Dabrowski Pin Groups

В. В. Варламов|ArXiv.org|Apr 30, 1999

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 45被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、実および複素ベクトル空間の離散的対称性とクリフォード代数の基本的自己同型の間の対応関係を確立し、奇数次元空間に対して2種類のダブロウスキー商群を導入する。符号に応じたダブロウスキーPin群の完全分類がなされ、自己同型群の同型を用いてその構造が拡張され、理論物理学への応用に向けた新しい代数的道具が提供される。

ABSTRACT

Double coverings of the orthogonal groups of the real and complex spaces are considered. The relation between discrete transformations of these spaces and fundamental automorphisms of Clifford algebras is established, where an isomorphism between a finite group of the discrete transformations and an automorphism group of the Clifford algebras plays a central role. The complete classification of Dabrowski groups depending upon signatures of the spaces is given. Two types of Dabrowski quotient groups are introduced in case of odd-dimensional spaces. Application potentialities of the introduced quotient groups in Physics are discussed.

研究の動機と目的

• 直交群における離散的変換とクリフォード代数の自己同型の間の構造的関係を確立すること。
• 基になるベクトル空間の符号に応じてダブロウスキーPin群を分類すること。
• 奇数次元空間における2種類の異なるタイプのダブロウスキー商群を導入し、それらを分析すること。
• 自己同型群の同型を用いてダブロウスキーPin群の枠組みを拡張すること。
• 導入された商群が理論物理学に与える可能性のある応用を探索すること。

提案手法

• 有限群である離散的変換群とクリフォード代数の自己同型群との同型を用いる。
• 符号による実および複素クリフォード代数の分類を用いて、対応するダブロウスキー群の構造を導出する。
• 自己同型作用に基づき、奇数次元空間に対して2種類の商群を導入する。
• 直交群の二重被覆の理論を適用して、群構造と代数的自己同型を関連付ける。
• Pin群が直交群の二重被覆としての構造を持つことを利用し、自己同型作用を介して拡張する。
• 自己同型誘導群拡張の詳細な代数的計算と分類を含む手法を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実および複素ベクトル空間の離散的対称性は、クリフォード代数の自己同型とどのように関係するか？
• RQ2 基になる空間の異なる符号に対して、ダブロウスキーPin群の完全分類はどのようなものか？
• RQ3 奇数次元空間におけるダブロウスキー商群の構造的性質は何か？
• RQ4 クリフォード代数の自己同型群は、どのようにダブロウスキーPin群を拡張できるか？
• RQ5 導入された商群は、数学的物理学においてどのような物理的意味を持つのか？

主な発見

• ベクトル空間の符号に応じたダブロウスキーPin群の完全分類が達成された。
• 奇数次元空間に対して、自己同型作用の違いを反映した2種類の異なるタイプのダブロウスキー商群が定義された。
• 離散的変換群とクリフォード代数自己同型群との同型が、中心的な構造的結果として確立された。
• 自己同型誘導群構成を用いてダブロウスキーPin群の拡張が実現され、その代数的構造が豊かになった。
• 量子場理論およびスピン幾何学への応用のための体系的で代数的な基盤が提供された。
• 結果は、元の1999年論文の修正版（30ページ）として提示され、後にハドロンイック・ジャーナルに掲載された。