[論文レビュー] Fundamental BCJ Relation in N=4 SYM From The Connected Formulation

Freddy Cachazo|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2012

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 10被引用数 46

ひとこと要約

この論文は、木レベルの振幅の連結形式を用いて、N=4超ヤン・ミルズ理論における基本的BCJ関係式を直接的かつ洗練された形で証明する。RSVW公式の置換不変構造とスピンルール積のスケーリング性を活用することで、著者らはBCJ恒等式がMHVに類似た因子とデルタ関数制約から自然に生じることを示し、振幅の各残留項が個別にBCJ関係式を満たすことを明らかにした。

ABSTRACT

Tree-level amplitudes in N=4 SYM can be decomposed into partial or color-ordered amplitudes. Identities relating various partial amplitudes have been known since the 80's. They are Kleiss-Kuijf (KK) identities. In 2008, Bern, Carrasco and Johansson (BCJ) introduced a new set of identities which reduce the number of independent partial amplitudes to (n-3)!. In recent years, several formulations for partial amplitudes have been discovered and shown to be equivalent to each other. These can be thought of as simple dualities in the sense that different formulations make manifest different properties of the same object; the amplitude. One such formulation is the ACCK Grassmannian formulation which makes Yangian invariance of individual partial amplitudes manifest. A different formulation is the so-called connected formula introduced by Witten in twistor space and formulated in momentum space by Roiban, Spradlin and Volovich. It has been argued that the connected formula is ideal for studying properties which are related to the full amplitude, such as the KK relations, and not to particular partial amplitudes, like Yangian invariance. Following this logic, it is very natural to expect that the BCJ identities should have a very simple proof in the connected formulation. In this short note we show that this is indeed the case.

研究の動機と目的

• 連結形式を用いて、N=4 SYMにおける基本的BCJ関係式を明確かつ直接的に証明すること。
• BCJ恒等式がRSVW公式の置換不変構造とMHVに類似た因子から自然に生じることを示すこと。
• 連結形式の各個別の残留項が、全体の振幅ではなく個別にBCJ関係式を満たすことの証明。
• 連結形式がグローバルな振幅関係を顕在化する仕組みを明確にすること、特にヤンジアン不変性のような局所的対称性とは対照的である点。

提案手法

• 運動量トゥイスターを用いた積分として木振幅を表現するRSVWの連結公式を用いる。この公式はMHVに類似た因子とデルタ関数を含む。
• MHVに類似た因子 (12)(23)...(n1) が色順序を唯一記述しており、残りのすべての成分（デルタ関数、ヴェロネーゼ写像）が置換不変であることを特定する。
• 各部分振幅の和におけるソフトに類似た項 (a,a+1)/((a,n+1)(n+1,a+1)) を因数分解することでBCJ恒等式を分析する。
• アイコナル恒等式を適用して a についての和を取ることで、(b,1)/((b,n+1)(n+1,1)) を含む単一の有理関数に式を簡略化する。
• ⟨n+1,b⟩ が σ_b についての次数 m−1 の多項式としてスケーリングすることを活用し、(n+1,b) × P_{m−2}(σ_b) に因数分解可能であることを示し、分母と相殺可能であることを示す。
• ∑_a σ_a^{m−α} λ_a = 0 というデルタ関数制約を用いて、∑_b P_{m−1}(σ_b) λ_b = 0 が成り立つことを示し、オンシェル状態で和が消えることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 N=4 SYMにおける基本的BCJ関係式は、連結形式を用いて直接的に証明可能か？
• RQ2 なぜ連結形式は、ヤンジアン不変性のような局所的対称性とは対照的に、BCJ恒等式のようなグローバル関係を顕在化するのに特に適しているのか？
• RQ3 連結形式の個々の残留項はBCJ関係式を満たすのか、それとも全体の振幅でのみ成り立つのか？
• RQ4 GL(2)変換におけるスピンルール積の多項式的スケーリングは、BCJ和の消滅とどのように関係するのか？

主な発見

• BCJ恒等式は、RSVW連結公式におけるMHVに類似た因子と置換不変デルタ関数から直接導かれる。
• 多項式的制約の解に対応する振幅の各個別残留項が、独立にBCJ関係式を満たす。
• BCJ恒等式の和は、運動量トゥイスターのデルタ関数制約によって消える線形結合のスピンルール積に簡略化される。
• ⟨n+1,b⟩ が (n+1,b) と σ_b についての次数 m−2 の多項式の積に比例することを示し、ソフトに類似た因子の分母と相殺可能であることが明らかになった。
• 最終的な和 ∑_b P_{m−1}(σ_b) [˜λ_b ˜λ_{n+1}] は、デルタ関数から導かれる ∑_a P_{m−1}(σ_a) λ_a = 0 の制約により消える。
• 証明により、BCJ関係式は追加の対称性ではなく、連結公式の背後にある代数的構造の結果であることが確認された。