[論文レビュー] Fundamental Conditions for Low-CP-Rank Tensor Completion

Morteza Ashraphijuo, Xiaodong Wang|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2017

Tensor decomposition and applications参考文献 27被引用数 5

ひとこと要約

本論文は、CP多様体に基づく新しい代数幾何学的分析を提案し、有限かつ一意な低CPランクテンソル補完の決定的必要十分条件を導出する。各観測されたエントリをCP分解の成分における多項式としてモデル化することで、有限補完可能性が特定の数の代数的に独立な多項式を持つことと同値であることが示され、従来のグラスマン多様体に基づく手法と比較して、サンプル要件が桁違いに低減される。

ABSTRACT

We consider the problem of low canonical polyadic (CP) rank tensor completion. A completion is a tensor whose entries agree with the observed entries and its rank matches the given CP rank. We analyze the manifold structure corresponding to the tensors with the given rank and define a set of polynomials based on the sampling pattern and CP decomposition. Then, we show that finite completability of the sampled tensor is equivalent to having a certain number of algebraically independent polynomials among the defined polynomials. Our proposed approach results in characterizing the maximum number of algebraically independent polynomials in terms of a simple geometric structure of the sampling pattern, and therefore we obtain the deterministic necessary and sufficient condition on the sampling pattern for finite completability of the sampled tensor. Moreover, assuming that the entries of the tensor are sampled independently with probability $p$ and using the mentioned deterministic analysis, we propose a combinatorial method to derive a lower bound on the sampling probability $p$, or equivalently, the number of sampled entries that guarantees finite completability with high probability. We also show that the existing result for the matrix completion problem can be used to obtain a loose lower bound on the sampling probability $p$. In addition, we obtain deterministic and probabilistic conditions for unique completability. It is seen that the number of samples required for finite or unique completability obtained by the proposed analysis on the CP manifold is orders-of-magnitude lower than that is obtained by the existing analysis on the Grassmannian manifold.

研究の動機と目的

• 低CPランクテンソルの有限補完可能性に関する、サンプリングパターンの決定的必要十分条件を導出すること。
• 与えられたCPランクにおける一意的補完可能性の決定的十分条件を確立すること。
• 有限補完可能性を高確率で保証するサンプリング確率の上限を特定する組合せ的ツールを開発すること。
• CP多様体解析が、従来のアンフォールディング／グラスマン多様体に基づくアプローチと比較して、顕著に低いサンプル要件をもたらすことを示すこと。

提案手法

• CP分解のランク1成分の要素における各観測されたテンソルエントリを多項式としてモデル化する。
• CP分解を分類するための幾何的パターンを定義し、多項式間の代数的独立性の特徴づけを可能にする。
• ベルンシュタインの定理と代数幾何学を用いて、サンプリングパターンの構造に基づく代数的に独立な多項式の最大数を同定する。
• ランダムi.i.d.サンプリング下で、有限補完可能性を高確率で保証するためのサンプリング確率の組合せ的上限を構築する。
• フレームワークを適用して、有限および一意的補完可能性に必要なサンプル数の下界を導出し、アンフォールディングベースの手法と比較して優位性を示す。
• 確率的集中不等式を用いて、ランダムサンプリング下での補完可能性に関する高確率保証を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 低CPランクテンソルの有限補完可能性を保証するサンプリングパターンの決定的条件は何か？
• RQ2 低CPランクテンソルの一意的補完可能性を保証するサンプリングパターンの条件は何か？
• RQ3 サンプリングパターンの幾何的構造に基づいて、代数的に独立な多項式の数を最大にするにはどうすればよいか？
• RQ4 有限補完可能性を高確率で保証するためのサンプリング確率の下限は何か？ また、従来の手法と比較してどう異なるか？
• RQ5 CP多様体に基づく解析は、グラスマン多様体に基づくアンフォールディングアプローチと比較して、必要なサンプル数をどのように低減するか？

主な発見

• 有限補完可能性は、サンプルされたエントリから導かれる特定の数の代数的に独立な多項式を持つことと同値である。
• サンプリングパターンの単純な幾何的関数を用いることで、代数的に独立な多項式の最大数を特徴づけられる。
• 提案手法は、グラスマン多様体解析に基づくアンフォールディング手法と比較して、必要なサンプル数を桁違いに低減する。
• CPランクが150までの1000^7の7次テンソルにおいて、CPベースのサンプル数下限はアンフォールディングベースの下限よりも顕著に低い。
• 組合せ的上限に基づいて導かれた閾値を上回るサンプリング確率では、高確率で有限補完可能性が保証され、従来の緩い上限を改善する。
• 本手法は、明示的なサンプルサイズ保証を伴う、有限および一意的補完可能性の決定的および確率的条件を両方提供する。