[論文レビュー] Fundamental gaps of the Gross-Pitaevskii equation with repulsive interaction

Weizhu Bao, Xinran Ruan|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2015

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates参考文献 35被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、さまざまなトラップポテンシャル下での反発的相互作用を有するグロス＝ピタエフスキー方程式（GPE）における基本的エネルギーおよび化学ポテンシャルギャップの基礎的性質を調査する。漸近解析と数値的検証を用いて、弱いおよび強い相互作用領域におけるギャップのスケーリング則を導出し、ギャップの最小値が領域の直径 D を用いて π²/(2D²) で下から有界であるという予想を提示する。結果は、第一励起状態固有空間の次元に応じて非簡約および簡約の場合の異なる挙動を示している。

ABSTRACT

We study asymptotically and numerically the fundamental gaps (i.e. the difference between the first excited state and the ground state) in energy and chemical potential of the Gross-Pitaevskii equation (GPE) -- nonlinear Schrodinger equation with cubic nonlinearity -- with repulsive interaction under different trapping potentials including box potential and harmonic potential. Based on our asymptotic and numerical results, we formulate a gap conjecture on the fundamental gaps in energy and chemical potential of the GPE on bounded domains with the homogeneous Dirichlet boundary condition, and in the whole space with a convex trapping potential growing at least quadratically in the far field. We then extend these results to the GPE on bounded domains with either the homogeneous Neumann boundary condition or periodic boundary condition.

研究の動機と目的

• 異なるトラップポテンシャル下での反発的相互作用を有するグロス＝ピタエフスキー方程式（GPE）における基本的エネルギーおよび化学ポテンシャルギャップを分析すること。
• 弱いおよび強い反発的相互作用領域におけるギャップの漸近展開を導出すること。
• 有界領域における凸ポテンシャルに対して、エネルギーおよび化学ポテンシャルの基本ギャップの下限に関する予想を提示すること。
• ディリクレ境界条件に加えて、ノイマンおよび周期的境界条件への解析の拡張を行い、励起状態固有空間の簡約性に起因する差異を同定すること。

提案手法

• 弱い相互作用極限（β ≪ 1）における摂動論を用いた漸近解析と、強い相互作用極限（β ≫ 1）における一致漸近展開。
• ディリクレ、ノイマン、周期的境界条件の下での基底状態および第一励起状態のエネルギーおよび化学ポテンシャルの展開の導出。
• GPEを解析的に取り扱うために、スケーリング変換を用いて標準的なシュレーディンガー型形式に変換すること。
• ボックスポテンシャルおよび調和トラップに対する漸近結果の数値的検証を行い、β に伴うギャップの単調増加を確認すること。
• 次元 d ≥ 2 における非簡約（dim(W₁) = 1）および簡約（dim(W₁) ≥ 2）の場合の区別を行い、それぞれ異なるギャップスケーリング則を導出すること。
• 対称性および凸性に基づくギャップ予想を提示し、エネルギーおよび化学ポテンシャルの基本ギャップの普遍的な下界 π²/(2D²) を主張すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ディリクレ境界条件を有する有界領域において、GPEのエネルギーおよび化学ポテンシャルの基本ギャップは、相互作用強度 β に対してどのようにスケーリングするか？
• RQ2 弱いおよび強い反発的相互作用領域におけるエネルギーおよび化学ポテンシャルギャップの漸近的挙動は何か？
• RQ3 第一励起状態固有空間の簡約性（dim(W₁) ≥ 2）は、非簡約の場合と比較してギャップスケーリングにどのように影響するか？
• RQ4 凸ポテンシャルおよび有界凸領域に対して、基本ギャップの普遍的な下界を確立できるか？
• RQ5 ノイマンおよび周期的境界条件は、ディリクレ条件と比較してギャップ構造にどのように影響を及けるか？

主な発見

• 弱い反発的領域（β ≪ 1）において、エネルギーギャップは δE(β) = π²/(2L₁²) + O(β)、化学ポテンシャルギャップは δµ(β) = π²/(2L₁²) + O(β) とスケーリングする。非簡約な 1D または d ≥ 2 の場合で L₁ > L₂ が成り立つ。
• 強い反発的領域（β ≫ 1）において、非簡約な場合、エネルギーギャップは δE(β) = 2/L₁² + O(β⁻¹/²)、化学ポテンシャルギャップは δµ(β) = 2/L₁² + O(β⁻¹/²) とスケーリングする。
• 簡約な場合（L₁ = L₂ = L、d = 2）では、強い相互作用極限においてエネルギーおよび化学ポテンシャルギャップは β に対して対数的にスケーリングする：δE(β) = (π/(2L²)) ln(β) + o(ln(β)) および δµ(β) = (π/(2L²)) ln(β) + o(ln(β))。
• 数値結果により、すべてのケースにおいて δE(β) および δµ(β) が β ≥ 0 に対して単調増加関数であることが確認された。
• 本稿は、エネルギーおよび化学ポテンシャルの基本ギャップの下限が、領域の直径 D を用いて π²/(2D²) で下から有界であるというギャップ予想を提示している。
• この予想は凸トラップポテンシャルおよび凸有界領域において成り立ち、相互作用強度がゼロに近づく極限で境界が達成される。