[論文レビュー] Fundamental group of simple $C^*$-algebras with unique trace

Norio Nawata, Yasuo Watatani|ArXiv.org|Apr 7, 2009

Advanced Operator Algebra Research参考文献 30被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、一意な正規化されたトレースを持つ単位的単純 $C^*$-代数 $A$ に対して、基本群 $Τ(A)$ を定義する。これは、$A \otimes K(\mathcal{H})$ の自己同型のトレーススケーリング定数の集合として定義される。$Τ(A) = \mathfrak{S}(A)$ であることを確立し、さまざまな $C^*$-代数について $Τ(A)$ を計算する。特に、無理数回転代数や自由群 $C^*$-代数の場合は算術的構造が現れることが示される。

ABSTRACT

We introduce the fundamental group ${\mathcal F}(A)$ of a unital simple $C^*$-algebra $A$ with a unique normalized trace. We compute fundamental groups ${\mathcal F}(A)$ of several nuclear or non-nuclear $C^*$-algebras $A$. K-theoretical obstruction enables us to compute the fundamental group easily. Our study is essentially based on the computation of Picard groups by Kodaka.

研究の動機と目的

• 一意な正規化されたトレースを持つ単位的単純 $C^*$-代数 $A$ に対して、基本群 $\mathcal{F}(A)$ を定義し、その性質を研究すること。
• $\mathcal{F}(A)$ と $A \otimes K(\mathcal{H})$ 上の自己同型のトレーススケーリング定数との関係を確立すること。
• K理論およびピカード群の技法を用いて、無理数回転代数や $C_r^*(F_n)$ を含む特定の $C^*$-代数について $\mathcal{F}(A)$ を計算すること。
• $\mathcal{F}(A)$ の算術的性質を調べ、$II_1$ 因子で見られるより連続的な構造とは対照的にすること。

提案手法

• $\mathcal{F}(A)$ を、$pM_n(A)p \cong A$ を満たす $M_n(A)$ の射影 $p$ に対して $\tau \otimes \mathrm{Tr}(p)$ の値の集合として定義する。これは $\mathbb{R}_+^\times$ の乗法的部分群をなす。
• GNS構成とコーナー代数の同型を用いて、$\mathcal{F}(A) = \mathfrak{S}(A)$、すなわち $A \otimes K(\mathcal{H})$ の自己同型のトレーススケーリング定数の群であることを確立する。
• 自己同型と同値なバイモジュールの文脈において、$\mathrm{Pic}(A)$ と $\mathrm{Out}(A)$ の関係を表すホモモーフィズム $\rho_A$ を用いて $\mathcal{F}(A)$ を分析する。
• K理論的障害および $A_\theta$ と $C_r^*(F_n)$ の自己同型に関する既知の結果を応用し、特定の代数について $\mathcal{F}(A)$ を計算する。
• $\theta$ が二次無理数でない場合、$\mathcal{F}(A)$ が $A_\theta$ に対して自明であるという事実を活用する。$\theta$ が二次代数的整数である場合、$\mathcal{F}(A)$ は $\mathbb{Z} + \mathbb{Z}\theta$ の正の単位元のなす群に同型である。
• GNS表現 $\pi_\tau$ を用いて、$\mathcal{F}(A)$ を関連する $II_1$ 因子 $\pi_\tau(A)''$ の基本群と関連づけ、$\mathcal{F}(A) \subset \mathcal{F}(\pi_\tau(A)'')$ を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一意な正規化されたトレースを持つ単位的単純 $C^*$-代数に対して、基本群 $\mathcal{F}(A)$ をどのように定義できるか？
• RQ2 $\mathcal{F}(A)$ と $A \otimes K(\mathcal{H})$ 上の自己同型のトレーススケーリング定数との関係は何か？
• RQ3 無理数回転代数 $A_\theta$ に対して、$\theta$ が二次的かどうかに応じて $\mathcal{F}(A)$ はどのように振る舞うか？
• RQ4 K理論およびピカード群の構造を用いて、特に非核の場合に $\mathcal{F}(A)$ を計算できるか？
• RQ5 $\mathcal{F}(A)$ と関連する $II_1$ 因子 $\pi_\tau(A)''$ の基本群との関係は何か？

主な発見

• 無理数回転代数 $A_\theta$ に対して、$\theta$ が二次無理数でない場合、$\mathcal{F}(A_\theta)$ は自明である。
• $\theta$ が二次代数的整数である場合、$\mathcal{F}(A_\theta)$ は環 $\mathbb{Z} + \mathbb{Z}\theta$ の正の単位元のなす群に同型であり、例えば $\mathcal{F}(A_{\sqrt{3}}) = \{(2 + \sqrt{3})^n \mid n \in \mathbb{Z}\}$ である。
• 自由群 $C^*$-代数を含む $A_\theta \otimes C_r^*(F_n)$ ($n \geq 2$) に対して、$\mathcal{F}(A_\theta \otimes C_r^*(F_n)) = \mathcal{F}(A_\theta)$ が成り立ち、自由群 $C^*$-代数とのテンソル積において安定であることが示される。
• 一意なトレースを持つ単位的単純 $C^*$-代数 $A$ に対して、$\mathcal{F}(A)$ は $A \otimes K(\mathcal{H})$ の自己同型のトレーススケーリング定数の群 $\mathfrak{S}(A)$ に等しくなる。これは重要な双対性を確立する。
• 関連する $II_1$ 因子 $\pi_\tau(A)''$ が基本群を自明に持つ場合、$\mathcal{F}(A) = \{1\}$ である。これは $G = S_\infty * (\mathbb{Z}^2 \rtimes SL(2,\mathbb{Z}))$ の $C_r^*(G)$ の例で示される。
• 基本群 $\mathcal{F}(A)$ は、特に $A_\theta$ の場合に算術的性質を示し、$II_1$ 因子で見られる連続的構造とは対照的である。