[論文レビュー] Fundamental groups of neighborhood complexes

Takahiro Matsushita|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2012

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 13被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、基点付きグラフ (G,v) の r-基本群 π₁ʳ(G,v) を導入し、π₁²ʳ(G,v) の偶数部と r-近傍複体 Nᵣ(G) の基本群との間で組み合わせ的同型を確立する。主な結果として、π₁³(KG₂ₖ₊₁,ₖ) ≅ ℤ/2 が得られ、Kneser図形 KG₂ₖ₊₁,ₖ から 5-サイクル C₅ への図形準同型が存在しないことを示し、奇数の周囲長や標準的近傍複体の位相とは独立した位相的障害を提供する。

ABSTRACT

The neighborhood complexes of graphs were introduced by Lovász in his proof of the Kneser conjecture. He showed that a certain topological property of $N(G)$ gives a lower bound for the chromatic number of $G$. In this paper, we study a combinatorial description of the fundamental groups of the neighborhood complexes. For a positive integer $r$, we introduce the $r$-fundamental group $π_1^r(G,v)$ of a based graph $(G,v)$ and the $r$-neighborhood complex $N_r(G)$ of $G$. The $1$-neighborhood complex is the neighborhood complex. We show that the even part $π_1^{2r}(G,v)_{ev}$, which is a subgroup of $π_1^{2r}(G,v)$ with index 1 or 2, is isomorphic to the fundamental group of $(N_r(G),v)$ if $v$ is not isolated. We can use the $r$-fundamental groups to show the non-existence of graph homomorphisms. For example, we show that $π_1^3(KG_{2k+1,k})$ is isomorphic to $\mathbb{Z} /2$, and this implies that there is no graph homomorphism from $KG_{2k+1,k}$ to the 5-cycle graph $C_5$. We discuss the covering maps associated to $r$-fundamental groups.

研究の動機と目的

• 近傍複体の基本群を組み合わせ的に記述することにより、グラフ彩色への Lovász の位相的アプローチを拡張する。
• 2r-サイクルから構成される 2-複体 Xᵣ(G) の基本群の一般化として、r-基本群 π₁ʳ(G,v) を定義する。
• 非孤立な v に対して、π₁²ʳ(G,v) の偶数部と π₁(Nᵣ(G),v) の間に正確な同型を確立し、図形準同型への新たな障害を可能にする。
• r-被覆写像とその r-基本群の部分群との対応関係を調査し、近傍複体上の被覆空間のグラフ論的実現を提供する。

提案手法

• G のすべての (2s)-サイクル（s ≤ r）に 2-セルを貼り付けて得られる 2-複体 Xᵣ(G) 上のエッジパス群として、r-基本群 π₁ʳ(G,v) を定義する。
• r-近傍複体 Nᵣ(G) を、距離 r 以内に共通の近傍を持つ頂点の有限集合からなる単体の集合として定義する。
• v が非孤立であるとき、エッジパス群の技法を用いて、r-基本群の偶数部 π₁²ʳ(G,v)ₑᵥ が自然に π₁(Nᵣ(G),v) に同型であることを証明する。
• r-基本群を用いて、源と標榜の基本群を比較することで、図形準同型の障害を検出する。
• r-被覆写像を位相的被覆写像のグラフ論的類似物として構成し、π₁ʳ(G,v) の部分群と連結な r-被覆との間の 1 対 1 対応を示す。
• G が非二部グラフであるとき、Nᵣ(G) 上の連結被覆空間と K₂×G 上の連結 2-被覆との間に対応関係を確立する。特に、Kronecker の二重被覆 K₂×G を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 近傍複体の基本群は、グラフ上の新たな代数的不変量を用いて組み合わせ的に記述可能だろうか？
• RQ2 r-基本群 π₁ʳ(G,v) は、奇数の周囲長や標準的近傍複体の位相とは検出できない、図形準同型の位相的障害を捉えられるだろうか？
• RQ3 被覆空間のグラフ論的記述は、位相的被覆理論に類似した、完全にグラフ論的な記述として可能だろうか？
• RQ4 r-基本群は、特に C₅ のような小さなサイクルへの準同型を遮断する Kneser 図形の構造とどのように関係するだろうか？
• RQ5 r-被覆の理論を用いて、Kronecker の二重被覆のような標準的グラフ構成を用いて、近傍複体上の被覆空間を分類できるだろうか？

主な発見

• v が非孤立である限り、r-基本群の偶数部 π₁²ʳ(G,v)ₑᵥ は r-近傍複体 Nᵣ(G) の基本群と同型である。
• Kneser 図形 KG₂ₖ₊₁,ₖ に対して、3-基本群 π₁³(KG₂ₖ₊₁,ₖ) は ℤ/2 に同型であり、非自明な有限群である。
• この同型は、KG₂ₖ₊₁,ₖ から 5-サイクル C₅ への図形準同型が存在しないことを示唆するが、k ≥ 2 のとき Kneser 図形の奇数の周囲長は 2k+1 ≥ 5 である。
• この障害は、奇数の周囲長や標準的近傍複体 N(G) の位相では検出できない。なぜなら、N(C₃) と N(C₅) は両方とも S¹ にホモトピー同値であるからである。
• r-基本群 π₁ʳ(G,v) の部分群と (G,v) 上の連結な r-被覆との間には 1 対 1 対応が存在し、古典的被覆空間論をグラフに一般化する。
• G が非二部グラフであるとき、Nᵣ(G) 上の連結被覆空間は、Kronecker の二重被覆 K₂×G 上の連結 2-被覆と双対的に対応し、位相的被覆空間のグラフ論的実現を提供する。