[論文レビュー] Fundamental Groups of Spaces of Smooth Projective Hypersurfaces

Michael Lönne|arXiv (Cornell University)|Aug 14, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 21被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、$\mathbf{P}^n$ 内の次数 $d$ の滑らかな射影的超曲面の空間の基本群に対する有限群提示を提供する。これは、平面曲線（$n=1$）に対するザリスキのブレード群提示を一般化するものである。特異点の判別式の幾何的解析とブリースコルン＝ファム特異点への関連を用いて、頂点でインデックスが付けられた生成元と、交換関係、ブレード関係、および高次関係を符号化する関係を持つグラフ $\Gamma_{n,d}$ を用いた提示を構成する。既知のケースを回復し、高次元へと拡張する。

ABSTRACT

We investigate the complement of the discriminant in the projective space PSym^d C^{n+1} of polynomials defining hypersurfaces of degree d in P^n. Following the ideas of Zariski we are able to give a presentation for the fundamental group of the discriminant complement which generalises the well-known presentation in case n=1, i.e. of the spherical braid group on d strands. In particular our argument proceeds by a geometric analysis of the discriminant polynomial as proposed by Bessis and draws on results and methods from previous work of the author addressing a comparable problem for any versal unfolding of Brieskorn Pham singularities.

研究の動機と目的

• 滑らかな平面曲線に対するザリスキの基本群提示を、高次元の滑らかな射影的超曲面へ一般化すること。
• 次数 $d$ の $\mathbf{P}^n$ 内の超曲面空間における判別式の補集合 $\mathcal{U}_{n,d}$ の基本群 $\pi_1(\mathcal{U}_{n,d})$ の幾何的に特徴付けられた有限提示を提供すること。
• 判別式補集合の位相とブリースコルン＝ファム特異点のモノドロミーとの間の関係を、統一的なグラフ論的枠組みを通じて確立すること。
• 既知のケース、たとえば $n=1$（球面ブレード群）や $n=2$（立方曲面）を、一般提示の特別な例として回復すること。

提案手法

• 次数 $d$ の超曲面をパラメトライズする、$\mathbf{P}^n \times \mathbf{P}^{N-1}$ 内の部分多様体として普遍的超曲面 $\mathcal{H}_{n,d}$ を構成する。ここで $N = \binom{n+d}{d}$ である。
• 判別式 $\mathcal{D}_{n,d}$ を特異超曲面の集合として特定し、$\mathcal{U}_{n,d} = \mathbf{P}^{N-1} \setminus \mathcal{D}_{n,d}$ を滑らかな超曲面の空間として定義する。
• 頂点集合 $V_{n,d}$（サイズ $(d-1)^n$）を持つグラフ $\Gamma_{n,d}$ を導入し、$\pi_1(\mathcal{U}_{n,d})$ の生成元 $\sigma_{\mathbf{i}}$ を頂点でインデックスづける。
• 辺構造に基づく関係を導出する：非隣接頂点には交換関係、隣接ペアにはブレード関係、グラフ内の三角形には三重関係を課す。
• 二つのグローバル関係を統合する：すべての生成元の積をあるべきべきに上げたものによる torsion 的関係、およびすべての生成元の積が単位元に等しい関係。
• 特に一般平面断面におけるカスプやノードの滑らかさの回復を分析することで、幾何的モノドロミーと変形論的議論を用いて、基本群における関係を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の $n$ および $d$ に対して、滑らかな射影的超曲面の空間の基本群を幾何的に自然な方法で提示することは可能か？
• RQ2 $\mathcal{U}_{n,d}$ の判別式補集合の位相的構造は何か？ これは $n=1$ の場合のブレード群構造をどのように一般化するか？
• RQ3 基本群の関係は、特にブリースコルン＝ファム特異点の幾何からどのように生じるか？
• RQ4 $\Gamma_{n,d}$ とその対称性は、モノドロミーとブレード的関係をどのように符号化するか？
• RQ5 判別式断面の部分的滑らかさ（例：カスプやノードの除去）は基本群にどのように影響し、これにより群提示にどのような含意が生じるか？

主な発見

• 基本群 $\pi_1(\mathcal{U}_{n,d})$ は、サイズ $(d-1)^n$ のグラフ $\Gamma_{n,d}$ の頂点でインデックスが付けられた生成元 $\sigma_{\mathbf{i}}$ と、グラフの辺および三角形構造によって定まる関係を持つ有限提示を備える。
• 提示には以下の関係が含まれる：(i) 非隣接頂点の交換関係、(ii) 隣接ペアのブレード関係、(iii) 三角形に対する三重ブレード関係、(iv) 全生成元の積をあるべきべきに上げた torsion 的関係、(v) 全生成元の積が単位元に等しい関係。
• $n=1$ の場合、グラフ $\Gamma_{1,d}$ は $A_{d-1}$ ダイニキン図であり、提示は $d$ 個のストランドの球面ブレード群を回復する。
• $n=2$, $d=3$ の場合、提示により $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ に同型な群が得られ、これはブレード群 $\mathrm{Br}_3$ の中心元の平方で割った商として得られる。
• 一般平面断面 $\mathcal{D}_{n,d}$ のカスプまたはノードの滑らかさの回復において、基本群はそれぞれ巡回群または自明群になる。これはグローバル関係がすべての生成元を崩壊させるためである。
• 本手法はザリスキの結果を成功裏に一般化し、立方曲線や立方曲面に対する既知の提示を回復・拡張する統一的な枠組みを提供する。