[論文レビュー] Fundamental groups of symplectic singularities

Yoshinori Namikawa|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、正の $\mathbf{C}^*$-作用とklt特異点をもつアフィンシンプレクティック多様体の正則点集合の代数的基本群が有限であることを証明する。オルビフォールド構造と射影的ファノ多様体の幾何学を用いて、基本群が任意に大きな有限商を持つことはできず、オルビフォールド上の線分束の可除性を用いた背理法により、有限性が示される。

ABSTRACT

Let (X, ω) be an affine symplectic variety. Assume that X has a C^*-action with positive weights and ωis homogeneous with respect to the C^*-action. We prove that the algebraic fundamental group of the smooth locus X_{reg} is finite. This is a collorary to a more general theorem: If an affine variety X has a C^*action with positive weights and the log pair (X, 0) has klt singularities, then the algebraic fundamental group of X_{reg} is finite.

研究の動機と目的

• アフィンシンプレクティック多様体に $\mathbf{C}^*$-作用とklt特異点が存在する場合、$\pi_1(X_{\text{reg}})$ が有限であるかどうかという未解決問題を解消すること。
• klt特異点の仮定の下で、代数的基本群 $\hat{\pi}_1(X_{\text{reg}})$ の一般の有限性結果を確立すること。
• Xuの結果に対する別証明を、オルビフォールド基本群と線分束の可除性に関する幾何的制約を用いて提示すること。

提案手法

• $\mathbf{C}^*$-作用を用いて、$X_{\text{reg}}$ の基本群を原点近傍の基本群と関連付ける。
• $X$ の階数付き環上のProj構成を用いて、射影的オルビフォールド $\mathbf{P}(X)^{\text{orb}}$ を構成し、klt仮定の下でこれはロジスティックファノ多様体となる。
• $\pi_1(\mathbf{C}^*) \to \pi_1(X^\sharp) \to \pi_1^{\text{orb}}(\mathbf{P}(X)^{\text{orb}}) \to 1$ のホモトピー完全列を適用して、基本群の構造を分析する。
• Xuの結果により $\pi_1^{\text{orb}}(\mathbf{P}(X)^{\text{orb}})$ が有限であることを用いて、問題を $\mathbf{C}^*$-ファイバー成分の解析に還元する。
• $X^\sharp \to \mathbf{P}(X)^{\text{orb}}$ にオルビフォールド $\mathbf{C}^*$-バンドル構造を導入し、関連するオルビフォールド線分束 $\mathcal{L}$ を研究する。
• $\pi_1(X^\sharp)$ が任意に大きな有限商を持つと仮定し、その仮定が $\mathcal{L}$ が任意の整数で可除であることを意味するが、これはアーモニックオルビフォールド線分束には不可能であると矛盾を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アフィンシンプレクティック多様体に $\mathbf{C}^*$-作用とklt特異点が存在する場合、代数的基本群 $\hat{\pi}_1(X_{\text{reg}})$ は有限か？
• RQ2 オルビフォールド幾何学と線分束の可除性制約を用いて、$\hat{\pi}_1(X_{\text{reg}})$ の有限性を確立できるか？
• RQ3 自明なオルビフォールド基本群をもつ有限エタール被覆が存在する場合、$\hat{\pi}_1(X_{\text{reg}})$ の有限性を帰納的に示せるか？

主な発見

• 任意の正の階数付き環 $R$ をもつアフィン多様体 $X = \mathrm{Spec}\, R$ に対して、klt特異点をもつ場合、代数的基本群 $\hat{\pi}_1(X_{\text{reg}})$ は有限である。
• $\hat{\pi}_1(X_{\text{reg}})$ の有限性は、ロジスティックファノオルビフォールド上のアーモニックオルビフォールド線分束の非可除性から導かれる。
• オルビフォールド線分束の可除性に関する幾何的制約により、$\pi_1(X_{\text{reg}})$ の有限商が任意に大きな位数をもつことはできないことが示される。
• 証明では、$\pi_1^{\text{orb}}(Y^{\text{orb}})$ が自明となる有限エタール被覆 $Z \to X^\sharp$ への還元が行われ、$\mathbf{C}^*$-ファイバー成分の解析が可能になる。
• 任意に大きな $l$ に対して $\pi_1(Z) \to \mathbf{Z}/l\mathbf{Z}$ の上への準同型が存在すると仮定すると、関連するオルビフォールド線分束が $l$ で可除である必要があるが、これはアーモニックオルビフォールド線分束には不可能である。
• したがって、$\hat{\pi}_1(X^\sharp)$ は有限であり、$\hat{\pi}_1(X^\sharp) \to \hat{\pi}_1(X_{\text{reg}})$ が全射であることから、$\hat{\pi}_1(X_{\text{reg}})$ も有限である。