[論文レビュー] Fundamental Klein-Gordon equation from stochastic mechanics in curved spacetime

Eric S. Escobar-Aguilar, Tonatiuh Matos+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2023

Cosmology and Gravitation Theories被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、曲がった時空における基本的クライン=ゴルドン方程式を、確率的力学の枠組みから導出する。量子粒子が普遍的な重力波背景（GWB）によって生じる確率的軌道を描くことにより、量子力学的性質が生じることを示す。確率的形式化により、非相対論的極限において一般化されたシュレーディンガー方程式が得られ、量子力学がGWBに内在する時空の揺らぎから生じる可能性を示唆する。

ABSTRACT

This work presents an alternative approach to obtain the quantum field equations in curved spacetime, considering that sufficiently small particles follow stochastic trajectories around geodesic. Our proposal is based on a stochastic differential equation in which the noise term experienced by the quantum particles is a consequence of the stochastic background in spacetime. This fact allows the particles to describe erratic movements and locally the universe exhibits characteristics akin to a lake with gentle ripples rather than a flat unyielding surface. Building upon this foundational understanding, we investigate the influence of this background on quantum-scale particles without considering the metric to be stochastic, rather we let test particles move randomly around the geodesic of macroscopic particles. Their behavior aligns with solutions to the Klein-Gordon (KG) equation specific to this curved spacetime. As the KG equation, in its non-relativistic limit within a flat spacetime, reduces to the Schrödinger equation, consequently, we propose a compelling connection: the Schrödinger equation may emerge directly from a spacetime lacking local smoothness.

研究の動機と目的

• 量子力学と時空の揺らぎの間の理論的関係を、確率的軌道モデルを通じて確立すること。
• 量子粒子の測地線運動が重力波背景（GWB）の存在によってどのように破壊されるかを調査すること。
• マコビアン・ランジュバン型の手法を用いて、曲がった時空におけるクライン=ゴルドン方程式を確率的力学から導出すること。
• 一般化された確率的形式主義の非相対論的極限としてシュレーディンガー方程式がどのように出現するかを示すこと。
• 一般相対性理論の枠組み内で相対論的確率的量子力学の基礎的枠組みを提供すること。

提案手法

• ニュートンの第二法則に確率的項を導入し、粒子の軌道をガウス白色ノイズを伴うマルコフ過程としてモデル化する。
• ウィーナ過程 $ dW(t) $ を用いたランジュバン方程式を用いて、量子粒子に作用する確率的力を記述する。
• マデルング変換を適用し、確率的力学を流体力学的方程式（連続の方程式およびナビエ＝ストークス型方程式）に変換する。
• 連続の方程式と確率的運動量方程式を組み合わせることで、曲がった時空におけるクライン=ゴルドン方程式を導出する。
• 一般化されたシュレーディンガー方程式の非相対論的極限を適用し、特定の条件下で標準的なシュレーディンガー方程式が回復されることを示す。
• 確率的微分作用素およびフォッカー＝プランク方程式を用いて、粒子密度および速度の時間発展を記述する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時空が重力波背景に満たされている状況において、量子力学が確率的粒子軌道の記述から生じる可能性はあるか？
• RQ2 コンプトン波長 $ ho $ を持つGWBの存在が、量子粒子の標準的な運動方程式にどのように影響を与えるか？
• RQ3 曲がった時空におけるクライン=ゴルドン方程式が、根本的な確率的力学から導出可能である程度はどの程度か？
• RQ4 一般化された確率的形式主義が、どのような条件下で標準的なシュレーディンガー方程式に還元されるか？
• RQ5 確率的力学の枠組みは、一般相対性理論の文脈において、特にマルコフ型形式で一貫して拡張可能か？

主な発見

• マコビアン揺らぎ力を持つニュートンの第二法則の確率的形式化から、曲がった時空におけるクライン=ゴルドン方程式が導出された。
• 非相対論的極限において一般化されたシュレーディンガー方程式が得られ、標準的な量子力学が確率的力学から出現することが確認された。
• 確率的軌道モデルは、ネルソンの確率的力学フレームワークに整合する物理的に現実的なマルコフ的記述を提供する。
• 電磁気的、重力的、および量子的力が、理論的枠組み内で確率的力学の結果として自然に出現する。
• ネルソンが提起した一般相対性理論の文脈におけるマルコフ型確率的力学の未解決問題を、本手法は効果的に解決した。
• 導出結果により、シュレーディンガー方程式が根本的であるのではなく、GWBに埋め込まれた時空におけるより深い確率的過程の極限として生じることが確認された。