[論文レビュー] Fundamental limitations on optimization in variational quantum algorithms

Hao-Kai Zhang, Chengkai Zhu+2 more|arXiv (Cornell University)|May 10, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 4

ひとこと要約

本論文は、ランダムに初期化されたパラメータ化された量子回路に対して、局所的ユニタリ操作におけるコスト関数の変動範囲が、キュービット数とともに指数関数的に減少することを証明することで、変分量子アルゴリズム（VQAs）に根本的な制限を設ける。この結果は、バーレンプレートの現象を統一的かつ一般化し、高次元のヒルベルト空間に起因する、ノイズが存在しない状況下でも最適化に内在する指数的スケーリングの困難さを明らかにする。

ABSTRACT

Exploring quantum applications of near-term quantum devices is a rapidly growing field of quantum information science with both theoretical and practical interests. A leading paradigm to establish such near-term quantum applications is variational quantum algorithms (VQAs). These algorithms use a classical optimizer to train a parameterized quantum circuit to accomplish certain tasks, where the circuits are usually randomly initialized. In this work, we prove that for a broad class of such random circuits, the variation range of the cost function via adjusting any local quantum gate within the circuit vanishes exponentially in the number of qubits with a high probability. This result can unify the restrictions on gradient-based and gradient-free optimizations in a natural manner and reveal extra harsh constraints on the training landscapes of VQAs. Hence a fundamental limitation on the trainability of VQAs is unraveled, indicating the essential mechanism of the optimization hardness in the Hilbert space with exponential dimension. We further showcase the validity of our results with numerical simulations of representative VQAs. We believe that these results would deepen our understanding of the scalability of VQAs and shed light on the search for near-term quantum applications with advantages.

研究の動機と目的

• 勾配に基づく解析を超えた、変分量子アルゴリズム（VQAs）のトレーニング可能性に関する根本的制限を特定・形式化すること。
• ランダムなパラメータ化された量子回路において、1つの局所的量子ゲートを調整する際のコスト関数の変動範囲を調査すること。
• VQAsにおける勾配ベースと勾配フリーの最適化制約を、統一的な理論枠組みの下に統合すること。
• 高次元の量子ヒルベルト空間における最適化の困難さを説明する厳密なスケーリング定理を提供すること。

提案手法

• ランダムなパラメータ化された量子回路が2-デザインを形成する場合、局所的ユニタリ操作下でのコスト関数の期待変動範囲がキュービット数とともに指数関数的に減少することを証明する。
• ユニタリ1-デザインおよび2-デザインを用いてランダム回路をモデル化し、忠実度に基づく境界を適用してコスト関数の感度を分析する。
• Bures忠実度とその量子チャネル下での単調性を用いて、局所的最適化中の最大および最小達成忠実度の上界を導出する。
• 集中不等式およびマルコフの不等式を用いて、変動範囲の分散および尾確率を境界付ける。
• コスト関数の変動範囲の一般上界を、dA/dBとして導出する。ここでdAは局所系の次元、dBは残りの系の次元を表す。
• 代表的なVQA（1次元反強磁性ヘイゼンベルグ模型のVQEを含む）における数値シミュレーションを通じて理論的結果を検証し、予測された指数的減少率と一致することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランダムなVQA回路において、1つの局所的ゲートを最適化する際のコスト関数の変動範囲のスケーリング挙動はいかなるものか？
• RQ2 コスト関数の変動範囲は、VQAsにおける勾配消失問題とどのように関係しているか？
• RQ3 勾配ベースと勾配フリーの最適化制限を統一的に説明する理論枠組みは可能か？
• RQ4 高次元量子系における最適化困難の指数的スケーリングの背後にある根本的メカニズムは何か？
• RQ5 ランダム回路構造および設計特性（例：2-デザイン）は、VQAsのトレーニング可能性をどの程度決定づけるか？

主な発見

• 局所的ユニタリ操作下でのコスト関数の期待変動範囲は、キュービット数とともに指数関数的に減少し、対数スケールでの減少率が−0.5であることが判明。数値シミュレーションとも一致する。
• 変動範囲の理論的上界はdA/dBであり、mキュービットの局所系とn−mキュービットの残りの系を想定すると、上界は1/2n−2mとなる。
• 変動範囲の分散についても境界が存在し、指数関数的に減少する。これは、ランダム回路においてコスト関数が局所的ゲートの変更に対して極めて感受性が低いことを示している。
• この結果は、バーレンプレート現象を統一的に扱い、勾配を超えて、コスト関数の差値までもが指数関数的に消滅することを示している。
• 1次元反強磁性ヘイゼンベルグ模型のVQEにおける数値シミュレーションは、変動範囲とキュービット数の半対数プロットにおいて、予測された−0.5の勾配と一致する指数的減少を確認した。
• 解析により、2-デザインへの移行は回路深さが約10×nに達する付近で発生し、その時点で理論的境界が有効になることが判明した。